Абелевы универсальные алгебры (стр. 1 из 11)

Курсовая работа

"Абелевы универсальные алгебры"

Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Заключение

Список литературы

Введение

Теория формаций алгебраических систем, как самостоятельное направление современной алгебры, начало развиваться сравнительно недавно, в конце 60-х годов прошлого столетия. Отметим, что за последующие четыре десятилетия в таких классических областях исследования, как группы, кольца, алгебры Ли, мультикольца и т.д. формационные методы получили довольно широкое развитие. В теории же универсальных алгебр формационные методы не находят такого широкого применения, что, в первую очередь, связано со сложностью самого объекта исследований. Поэтому получение новых результатов, касающихся формационных свойств универсальных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая курсовая работа. Здесь на основе определения централизатора конгруэнции, введенного Смитом , дается определение абелевои алгебры и доказывается основной результат, что класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. Также рассматривается и свойства абелевых универсальных алгебр.

Перейдем к краткому изложению результатов курсовой работы, которая включает в себя введение, четыре параграфа и список цитируемой литературы из восьми наименований.

1 является вспомогательным. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем.

2, 3 носят реферативный характер. Здесь подробно с доказательствами на основании результатов работ [1] и [2] излагается теория централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматриваются формационные свойства нильпотентных алгебр работы[3]. Сразу же отметим, что все рассматриваемые универсальные алгебры принадлежат фиксированому мальцевскому многообразию.

В

4, который является основным, на основании результатов 3 вводится понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказывается следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.

1 Основные определения, обозначения и используемые результаты

Приведем определения основных понятий, используемых в данной работе из источников [1] и[2]. Для введения понятия алгебы необходимо сначала определить

-арные операции.

Определение 1.1. Если

– непустое множество и , то

-арной операцией на множестве назовем отображение прямого произведения в . Рассматриваются и -арные операции, которые по определению, отмечают некоторый элемент из .

Определение 1.2. Пара

, где – непустое множество, а (возможно, пустое) множество операций на , называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй.

Совокупность операций (или опрерационных символов)

будем называть сигнатурой. Часто, при введении алгебры, указывают только множество и не указывают сигнатуру.

Элемент алгебры

отмечаемый -арной операцией . будем обозначать через .

Определение 1.3. Подмножество

называется подалгеброй, если для всякой -арной операции ,

а если

и – -арная операция из , то

Определение 1.4. Если

, – алгебры сигнатуры , то прямое произведение

становиться алгеброй той же сигнатуры, если для каждой

-арной операции положить

а для

-арной операции , где , –

Возникающая таким образом алгебра

называется прямым произведением алгебр .

Приведем некоторые определения из

Определение 1.5. Отображение

из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой -арной операции ( ) справедливо равенство

Если же

– нульарная операция, то полагаем

Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры

на называется изоморфизмом и обозначается . Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры . Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом.

Определение 1.6.Конгруэнцией на алгебре

называется всякая подалгебра прямого квадрата , обладающая следующими свойствами:

1) (рефлексивность):

для всех ;

2) (симметричность): если

, то ;