Парадокси в математичній статистиці (стр. 14 из 22)

2.8.3.2 Пояснення досить просте: оцінка максимальної правдоподібності для

є частота , яка прямує до для ірраціональних .

Нехай

1.

, якщо , тобто ,

2.

, якщо , тобто .

,

Розглянемо (1) випадок.

, . (2.8 3.2.1)

Логарифмуємо вираз (2.8 3.2.1):

. (2.8 3.2.2)

Беремо частинну похідну за параметром

:

. (2.8 3.2.3)

Приводимо подібні доданки:

, .

- оцінка максимальної правдоподібності для , якщо .

Знаходимо математичне сподівання оцінки

:

(2.8 3.2.4)

Для будь-якого

:

- спроможна оцінка для параметра , .

Розпишемо аналогічно для другого випадку.

, . (2.8 3.2.5)

Логарифмуємо вираз

.

Беремо частинну похідну за параметром

:

. (2.8 3.2.6)

Приводимо подібні доданки:

, .

- оцінка максимальної правдоподібності для , якщо

: .

Знаходимо математичне сподівання оцінки

:

,

- незміщена оцінка для параметра , якщо

Для будь-якого

:

.

- спроможна оцінка для параметра , для .

Оцінка для параметра

у випадках та різні:

, якщо

І

, якщо .

2.9 Парадокс інтервальних оцінок

2.9.1 Історія парадоксу

Теорія інтервального оцінювання була розроблена Г. Фішером і Д. Нейманом між 1925 і 1935 роками. Довірчий інтервал Неймана містить невідомий параметр

зі заданою ймовірністю . Нехай - вибіркові значення, і припустимо, що і такі, що

.

тоді інтервал

називається довірчим інтервалом з коефіцієнтом надійності

для

. Якщо

невідоме математичне сподівання нормального розподілу зі стандартним відхиленням , то

,

тобто

є довірчим інтервалом для

з коефіцієнтом надійності 0.95%. При іншому підході до інтервального оцінювання випадковим параметром не вибірка, а невідомий параметр

. В цьому випадку інтервал не залежить від вибіркових значень, і рівність

просто означає, що

потрапляє в інтервал

з ймовірністю . Наприклад, якщо

- невідоме математичне сподівання нормального розподілу, то через випадкові помилки вимірювань

не визначається повністю вибірковим середнім .