Парадокси в математичній статистиці (стр. 18 из 22)

2.11.3 Пояснення парадоксу

Парадокс Роббінса показує, що навіть тоді, коли треба прийняти рішення про прийом чи відмову від продукції, яка надходить з різних незалежно працюючих фабрик, загальна кількість помилкових рішень буде в середньому меншою, якщо ми не будемо приймати рішення незалежно одне від другого.

У 1961 р. Джеймс і Стейн запропонували таку просту оцінку для математичного сподівання багатовимірного нормального розподілу

де .

Тоді

, але . Отже, оцінка справді не є допустимою. Оцінка переводить вектор ближче до початку координат, а оскільки початок координат можна вибрати довільно, то оцінка

також краща, ніж

, при будь якому виборі . Таким чином, оцінка Джеймса - Стейна залежить від вибору початку координат , а в той же час від не залежить. (Можна показати, що оцінка

навіть дещо краща, ніж

)

Висновки

На думку Карла Пірсона, у математиці немає іншого такого розділу, в якому настільки легко можна було б робити помилки, як у теорії ймовірностей та математичній статистиці. Математична статистика багата на парадокси. Важливо розрізняти парадокси і софізми. Парадокси - це суперечні інтуїції або здоровому глузду, але вірні результати. Софізми - помилкові результати, одержані за допомогою міркувань, які формально здаються вірними. Розглянемо деякі парадокси математичної статистики.

Парадокс оцінок математичного сподівання.

Парадокс.

Нехай

- реалізація вибірки з розподілу . Розподіл залежить від параметра , де - математичне сподівання розподілу . Значення параметра в розподілі невідомо, і його необхідно оцінити за реалізацією вибірки .

Якщо за розподіл

обрати нормальний розподіл , то оцінка

незміщена, спроможна, ефективна оцінка для параметра

. Для розподілу ж , відмінного від нормального, оцінка не є незміщеною оцінкою з найменшою дисперсією.

У цьому і полягає парадокс оцінки математичного сподівання.

Пояснимо парадокс.

Розглянемо сім’ю розподілів

на , які залежать від параметра і задаються щільністю .

Кількість інформації за Фішером має вигляд:

(1)

За умов, що щільність

ми вважаємо, що підінтегральний вираз дорівнює нулю. Отже формула (1) перепишеться у вигляді:

(2)

В 1965 роціКаган, Ліннік та Раосформулювали теорему, згідно з якою у класі щільностей

, зі скінченою дисперсією , які задовольняють умови 1. - неперервно - диференційовна функція.2. при , нерівність Крамера-Рао

обертається на рівність на гауссівському розподілі.

Доведення. Будемо вважати, що середне значення розподілу

дорівнює нулеві. Позначимо через множину точок , для яких щільність додатна.

Інтеграл по множині

від х помножене на похідну від щільності дорівнює - 1:

.

Користуючись нерівністю Коші - Буняковського для інтегралів здобуваємо нерівність

, (3)

при цьому знак рівності досягається тоді й тільки тоді, коли справедлива формула

(4)

Розв’язуючи диференціальне рівняння (4), знайдемо щільність

. (5)

Для знаходження сталих

скористаємося тим, що 1) - інтеграл від щільності дорівнює 1,2) - середнє дорівнює 0 та 3) - дисперсія скінчена й дорівнює .

Отже, маємо щільність нормального розподілу з параметрами

:

.

Теорема доведена.

Отже парадокс показує, що за виключенням нормального розподілу, середнє арифметичне вибірки не є незміщеною оцінкою з найменшою дисперсією для математичного сподівання розподілу

.

Парадокс оцінок дисперсії.

Історія парадоксу.

Найважливішою характеристикою випадкових величин і їх розподілів разом з математичним сподіванням є дисперсія.

Нехай

вибірка з розподілу . Якщо дисперсія розподілу скінченна, то при відомому математичному сподіванні розподілу вибіркова дисперсія дорівнює виразу