Парадокси в математичній статистиці (стр. 19 из 22)

і є незміщеною оцінкою дисперсії

.

Ситуація змінюється, коли математичне сподівання розподілу

невідоме і в якості оцінки математичного сподівання розглядається

.

Тоді вибіркова дисперсія

вже не є незміщеною оцінкою.

Оцінка

є асимптотично незміщеною оцінкою для . Оскільки незміщеність - одна з необхідних властивостей, яку повинна мати добра оцінка, змінимо оцінку так, щоб отримати незміщену оцінку для .

.

Оцінка

незміщена оцінка для .

Проте парадокс оцінок дисперсії показує, що не завжди треба обмежуватися розглядом лише незміщених оцінок. Інколи оцінка з малим зсувом і малою мірою розкиду значень оцінки краща незміщеної оцінки з великою дисперсією.

Парадокс.

Нехай

- вибірка з нормального розподілу з параметрами . Оцінка

незміщена оцінка для

, а оцінка

для

така, що міра розкиду оцінки відносно мінімальна. Вимога незміщеності і мінімуму міри розкиду приводять до різних оцінок. Треба дізнатися якій з оцінок віддати перевагу.

Пояснимо парадокс. Розглянемо клас оцінок

.

Математичне сподівання оцінок

дорівнює

.

Тобто в класі оцінок

існує єдина незміщена оцінка , яка відповідає і ця оцінка є :

. (1)

Міра розсіювання оцінок

відносно обчислюється за формулою:

. (2)

Позначимо через

функцію параметра

. (3)

Знайдемо

, при якому досягає найменшого значення. Це значення

. (4)

При цьому

має вигляд:

. (5)

Одержуємо нерівність (6). Міра розсіювання оцінки

відносно менша ніж міра розсіювання оцінки відносно .

. (6)

Таким чином, на підставі вимоги мінімуму міри розсіювання оцінки зміщена оцінка

,

зміщення якої

(7)

мале при чималому об'ємі вибірки

, краще оцінює дисперсію , чим незміщена оцінка .

Цей парадокс показує, що не може бути єдиного критерію, за яким необхідно порівнювати всі оцінки, як не існує єдиної оцінки даного параметра

, яка прийнятна для всіх випадків.

Зауважимо.

Вибіркова дисперсія

при відомому математичному сподіванні - ефективна оцінка для

. Оцінка не є ефективною оцінкою для . Ефективної оцінки для (при невідомому математичному сподіванні) не існує, тобто ні для якої незміщеної оцінки параметра нерівність Крамера - Рао не обертається в рівність.

Парадокс Байєса.

Історія парадоксу.

Теорема Томас Байєс, доведена близько 1750 р. і опублікована лише після смерті автора, стала джерелом суперечок в статистиці. Вони не припинилися й досі. Сформулюємо теорему Байєса. Нехай події

, утворюють повну групу подій. Тоді для будь-якої події умовна ймовірність події відносно рахується за формулою

(1)

Формула Байєса дозволяє за апріорними ймовірностями

подій знайти апостеріорні ймовірності подій . В більшості її застосувань апріорні імовірності невідомі. В цьому випадку вважають, що, оскільки відсутня попередня інформація про події , то усі ймовірності рівні, але такий підхід, взагалі кажучи, неприйнятний.

Байєс використовував свою теорему у випадках, коли апріорні імовірності

були випадковими величинами, зокрема, рівномірно розподіленими на .

Нехай

- випадкова величина рівномірно розподілена на .

.

Вважаємо, що щільність апріорна.

Позначимо через

- подію, яка полягає у тому, що "в випробовуваннях Бернуллі подія відбулась разів", при цьому ймовірність події дорівнює .