Парадокси в математичній статистиці (стр. 2 из 22)

Означення. Борелеву функцію

, задану на вибірковому просторі , зі значеннями в - множині можливих значень параметра - будемо називати статистикою, а - борелеву функцію від вибірки - оцінкою.

Будувати статистики

, такі щоб тобто статистики, з допомогою яких за можна було б точно визначити , явно не вдасться вже хоча б тому, що є константою, а оцінка як функція вибірки (випадкової величини) є випадковою величиною. Тож подобається нам чи ні, для визначення ми будемо змушені вдовольнятися оцінками , як наближеними значеннями .

Зазначимо, що для одного й того самого параметра

можна запропонувати багато оцінок.

Похибки оцінювання параметрів. У зв’язку з постановкою задачі оцінювання параметрів розподілів як задачі знаходження наближених значень

параметра треба вміти відповідати на запитання: наскільки великою є похибка при заміні на , інакше кажучи, як далеко можуть відхилятися значення оцінки , обчисленої за вибіркою , відповідної величини ?

Від оцінки

, яка пропонується для оцінювання того чи іншого параметра, природно вимагати малого розсіювання її значень, іншими словами концентрації їх у вузькому колі. Як кількісну міру розсіювання значень випадкової величини розглядатимемо (для наочності - одновимірний параметр).

Кількісно міру похибки при заміні

на (міру розсіювання відносно ) будемо описувати величиною

Серед усіх оцінок з однією і тією самою дисперсією

(мірою розсіювання) мінімальну міру розсіювання відносно мають оцінки, для яких . Останнє випливає з рівностей

Означення. Оцінку

будемо називати незміщеною оцінкою параметра , якщо , або, що те саме,

Наочно незміщеність оцінки

параметра можна трактувати так: за багаторазового використання оцінки як значення , тобто за багаторазової заміни на , середнє значення похибки дорівнює нулеві.

Часто розглядають не одну оцінку

, побудовану за вибіркою , а послідовність оцінок У цій ситуації природно говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок.

Означення. Послідовність оцінок

будемо називати спроможною послідовністю оцінок параметра , якщо для кожного

при

, або, що те саме, збігається за ймовірністю до , при .

Означення. Послідовність оцінок

називатимемо асимптотично незміщеною послідовністю оцінок параметра , якщо при , або, що те саме, при .

Оцінки мінімальної дисперсії.

Основне питання задачі оцінювання параметрів розподілів - наскільки великою є похибка при заміні параметра

оцінкою .

Оцінки

, що пропонуються для оцінювання параметра , повинні бути незміщеними, тобто .

Такі оцінки мають меншу міру розсіювання відносно

порівняно з оцінками, для яких .

Для оцінювання параметра

можна запропонувати багато незміщених оцінок. Із сукупності таких оцінок природно вибрати ті, що мають мінімально можливу міру розсіювання (дисперсію).