Парадокси в математичній статистиці (стр. 21 из 22)
Список використаних джерел
1. Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. - М.: Наука, 1972.
2. Турчин В.Н. Математическая статистика. - Д.: Издательство ДНУ, 1996.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. - М.: Наука, 1984.
4. Турчин В.М. Теорія ймовірностей і математична статистика. - Д.: Видавництво ДНУ, 2006.
5. Freedman D. F. On the asymptotic behavior of Byes’ estimates in the discreete case, 1963.
6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.В. Математическая статистика: учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1984.
7. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. - М.: Мир, 1990.
Приложение
Парадокси в математичній статистиці
Парадокс оцінок математичного сподівання
-незміщена, спроможна, ефективна оцінка для парам.
не є ефективною оцінкою для параметра
Пояснення парадоксу.
, 
, 
, 
, 
, (1) 
(2)Теорема (Каган, Ліннік, Рао). У класі щільностей
, 
зі скінченою дисперсією 
, які задовольняють умовам:1.
- неперервно - диференційовна функція.2. 
при 
, нерівність Крамера-Рао 
обертається на рівність на гауссівському розподілі.Доведення.
, 
, 
. 
(3) 
(4) 
(5)Скористаємося тим, що
, 
, 
. 
Щільність нормального розподілу з параметрами
: 
(6)Теорема доведена.
Парадокс оцінок дисперсії
Історія парадоксу.
~ 
, 
- скінчена, 
- відоме, 
- незміщена оцінка для 
- скінчена, - невідоме, 
, 
- асимп. незм. оцінка для 
незміщена оцінка для
.Парадокс.
Нехай
~ 
.Оцінка
- незміщена оцінка для
, а оцінка 
для
така, що міра розкиду оцінки 
відносно 
мінімальна.
Якій з оцінок віддати перевагу?
Пояснення парадоксу.
, 
, 
, 
, 
. (1)Міра розсіювання оцінок
відносно 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
. (6)Зміщена оцінка
,зміщення якої
(7) мале при
, краще оцінює дисперсію , ніж незміщена оцінка 
.Зауваження.
Оцінка
-ефективна для
, - відоме.Оцінка
-не є ефективною для
.Парадокс Байєса
Теорема Байєса (1750 р)
Нехай
- повна група подій, 
, 
.Тоді для будь-якої події
(1)Апріорна щільність:
~ 
.