Парадокси в математичній статистиці (стр. 6 из 22)

.

Звідси

. (2.1.3.4)

Скористаємось нерівністю Коші - Буняковського для інтегралів

.

Позначимо

, .

Тоді з (2.1.3.4) маємо

.

Отже,

,

.

При цьому знак рівності досягається тоді й тільки тоді, коли при деякій постійній

.

Знайдемо щільність

з рівності:

. (2.1.3.5)

Розв’язуючи диференціальне рівняння маємо:

.

Для знаходження сталих

скористаємося тим, що (інтеграл від щільності дорівнює 1), (математичне сподівання дорівнює 0), (дисперсія скінчена і дорівнює ).

Розв'язуючи рівняння:

Знаходимо

Отже, маємо щільність нормального розподілу з параметрами

:

.

Теорема доведена.

Зауваження 1. Нерівність Крамера - Рао (1.2.1) в теоремі набуває вигляду

.

Дійсно, згідно з наслідком 3 з теореми (нерівність Крамера - Рао)

Порахуємо

:

Підставляємо

в нерівність:

або,

,

або,

Зауваження 2. З одного боку

З іншого боку

.

Знак рівності в нерівності Крамера - Рао досягається тоді й тільки тоді, коли

,

або,

або,

В частинному випадку для щільності

, розподілу маємо

2.2 Парадокс Байєса

2.2.1 Історія парадоксу

Томас Байєс, учень де Муавра, є одним з видатних засновників математичної статистики. Його теорема, доведена близько 1750 р. і опублікована лише після його смерті, стала джерелом деяких суперечок в статистиці. Вони не припинилися й досі. Більш того, теоретична прірва між послідовниками байєсівського й антибайєсівського підходів продовжує збільшуватися. Сформулюємо теорему Байєса.

Нехай

та - довільні події, які мають імовірності та відповідно. Позначимо через ймовірність перетину подій та , - умовна імовірність події , якщо відомо, що подія відбулася. Якщо події - утворюють повну групу подій, тобто

1)

- попарно неперетинні ( ),

2)

,

То

, ,

Остання формула називається формулою Байєса. Вона показує, як за апріорними ймовірностями

подій (імовірностями подій відомими до того, як подія відбулася) знайти апостеріорні ймовірності подій (ймовірності подій після того, як подія відбулася).

Сама теорема безперечна, але в більшості її застосувань апріорні імовірності

невідомі. В цьому випадку, як правило, вважають, що, оскільки відсутня попередня інформація про події , то усі ймовірності рівні, але такий підхід, взагалі кажучи, неприйнятний.

Байєс використовував свою теорему у випадках, коли апріорні імовірності

були випадковими величинами, зокрема, рівномірно розподіленими на інтервалі .

Нехай

- випадкова величина зі щільністю

.

Позначимо через

- подію, яка полягає у тому, що у випробовуваннях Бернуллі подія відбулась разів, при цьому ймовірність події дорівнює .

Умовна щільність випадкової величини

дорівнює

(2.2.1 1)