Парадокси в математичній статистиці (стр. 9 из 22)

тобто (позначаючи

) з рівності випливає , що можливо при лише тоді, коли ; звідки випливає, що , де і - додатні числа (інакше функція не була б щільністю).

Таким чином, оцінка параметра зсуву за методом найменших квадратів збігається з оцінкою максимальної правдоподібності лише для нормальних розподілів.

2.4 Парадокс оцінок дисперсії

2.4.1 Історія парадоксу

Найважливішою характеристикою випадкових величин і їх розподілів разом з математичним сподіванням є дисперсія.

Нехай

вибірка з розподілу . Якщо дисперсія розподілу скінчена, то при відомому математичному сподіванні розподілу вибіркова дисперсія

є незміщеною оцінкою дисперсії

. Дійсно,

.

Ситуація змінюється, коли математичне сподівання розподілу

невідоме і за оцінку математичного сподівання розглядається оцінка

.

Тоді вибіркова дисперсія

вже не є незміщеною оцінкою. Дійсно,

.

Оцінка

є асимптотично незміщеною оцінкою для .

Оскільки незміщеність - одна з необхідних властивостей, яку повинна мати добра оцінка, змінимо оцінку

так, щоб одержати незміщену оцінку для , а саме: помножимо на множник і позначимо нову оцінку :

.

Оцінка

незміщена оцінка для [2]. Дійсно,

Проте парадокс оцінок дисперсії говорить про те, що не завжди треба обмежуватися розглядом лише незміщених оцінок. Іноді оцінка з малим зміщенням і малою мірою розсіювання значень оцінки краще незміщеної оцінки з великою дисперсією.

2.4.2 Парадокс

Нехай

- вибірка з нормального розподілу . Оцінка

є незміщеною оцінкою для

, а оцінка

для

така, що міра розсіювання оцінки відносно мінімальна. Отже, вимоги незміщеності і мінімуму міри розсіювання приводять до різних оцінок. Якій з оцінок віддати перевагу?

2.4.3 Пояснення парадоксу

Розглянемо клас оцінок

[6]. Математичне сподівання оцінок дорівнює . В класі оцінок існує єдина незміщена оцінка, яка відповідає і ця оцінка , тобто . Порахуємо міру розсіювання оцінок відносно :

Згідно з теоремою про розподіл оцінок

і параметрів нормального розподілу випадкова величина має - розподіл з ступенями вільності. Тоді при

,

Звідки

і

.

Тоді

перепишеться:

.

Позначимо функцію від

через

.

Знайдемо

, при якому функція досягає найменшого значення:

,

,

,

.

При цьому

,

і

,

а

.

Одержуємо нерівність

.

Таким чином, на підставі вимоги мінімуму міри розсіювання оцінки зміщена оцінка

,

зміщення якої

мале при достатньо великому обсязі вибірки

, краще оцінює дисперсію , ніж незміщена оцінка .

Цей парадокс показує, що не може бути єдиного критерію, за яким необхідно порівнювати всі оцінки, як не існує єдиної оцінки даного параметра

, яка прийнятна для всіх випадків.