Парадокси в математичній статистиці (стр. 1 из 22)

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. О. Гончара

Дипломна робота

Парадокси в математичній статистиці

Виконавець:

студентка групи МС-08-1с Хмара М.С.

"__"________2009р.

Керівник роботи:

Дніпропетровськ 2009

Реферат

Дипломна робота містить: 87 сторінок, 7 джерел, 2 рисунки.

Об’єктом дослідження є парадокси математичної статистики.

Мета роботи: пояснити парадокси математичної статистики.

Методика дослідження: оцінювання параметрів розподілів.

Результати досліджень можуть бути застосовані при читанні лекцій з дисципліни "Математична статистика" у вищих навчальних закладах як ілюстративний матеріал основних понять математичної статистики, таких як точкові оцінки, оцінки мінімальної дисперсії, метод максимальної правдоподібності, метод найменших квадратів.

Перелік ключових слів: ВИБІРКА, НЕРІВНІСТЬ КРАМЕРА - РАО, ОЦІНКА, МАТЕМАТИЧНЕ СПОДІВАННЯ, ФОРМУЛА БАЙЄСА, МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ, МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЇ ПРАВДОПОДІБНОСТІ.

Зміст

Вступ

Розділ І. Основні поняття математичної статистики

1.1 Нерівність Крамера - Рао (розподіл дискретний)

1.2 Теорема 1.2.2 (нерівність Крамера - Рао, розподіл дискретний)

1.3 Метод максимальної правдоподібності

Розділ ІІ. Парадокси в математичній статистиці

2.1 Парадокс оцінок математичного сподівання

2.1.1 Історія парадоксу

2.1.2 Парадокс

2.1.3 Пояснення парадоксу

2.2 Парадокс Байєса

2.2.1 Історія парадоксу

2.2.2 Парадокс

2.2.3 Пояснення парадоксу

2.3 Парадокс методу найменших квадратів

2.3.1 Історія парадоксу

2.3.2 Парадокс

2.3.3 Пояснення парадоксу

2.4 Парадокс оцінок дисперсії

2.4.1 Історія парадоксу

2.4.2 Парадокс

2.4.3 Пояснення парадоксу

2.5 Парадокс кореляції

2.5.1 Історія парадоксу

2.5.2 Парадокси

2.5.3 Пояснення парадоксів

2.5.4 Зауваження

2.6 Парадокси регресії

2.6.1 Історія парадокса

2.6.2 Парадокси

2.6.3 Пояснення парадоксів

2.7 Парадокси достатності

2.7.1 Історія парадоксу

2.7.2 Парадокс

2.7.3 Пояснення парадоксу

2.7.4 Зауваження

2.8 Парадокси методу максимальної правдоподібності

2.8.1 Історія парадоксу

2.8.2 Парадокси

2.8.3 Пояснення парадоксів

2.9 Парадокс інтервальних оцінок

2.9.1 Історія парадоксу

2.9.2 Парадокс

2.9.3 Пояснення парадоксу

2.9.4 Зауваження

2.10 Парадокс

- критерію Стьюдента

2.10.1 Історія парадокса

2.10.2 Парадокс

2.10.3 Пояснення парадоксу

2.10.4 Зауваження

2.11 Парадокс перевірки гіпотез

2.11.1 Історія парадоксу

2.11.2 Парадокс

2.11.3 Пояснення парадоксу

Висновки

Список використаних джерел

Приложение

Вступ

Статистика - це фізика чисел

П. Діаконіс

Спочатку статистика була “державною арифметикою". Саме слово “статистика" походить від латинського слова status - держава. З найдавніших часів статистику використовували для того, щоб інформувати володарів держав про величину податку, який можна зібрати з громадян, або про кількість солдат, на яку можна розраховувати у воєнний час. Перший англійський статистичний документ “Книга судного дня", написаний в ХІ віці, також виник у зв’язку з потребами армії і податкообкладання. Статистика стала наукою аж в ХVІІ віці. Її основоположниками є Джон Граунт (1620 - 1674) і сер Вільям Петті (1623 - 1687). В роботі Петті “Політична арифметика” Англія, Голландія і Франція порівнювалися за їх населенням, торгівлею і судноплавством. З розвитком капіталізму статистичними даними стали цікавитися не тільки державні діячі. Поступово розвиваючись, математична статистика перетворилася в самостійну галузь математики. Математична статистика багата на парадокси. Ейрес стверджував, що 50 найбільш часто вживаних слів складають приблизно 50% звичайного тексту, 300 найбільш часто вживаних слів складають 75% тексту, а 1000 найбільш часто вживаних слів складають 90%. Не дивлячись на цей факт, не можна сказати, що коли нам відомі 50 чи 100 слів якоїсь мови, то ми вже наполовину її розуміємо, оскільки знання деяких слів, навіть якщо вони часто вживаються, навряд чи допоможе в розумінні будь-якого тексту. Не дивно, що багато людей вважають, що існує три види неправди: невинний обман, нахабна брехня і статистика.

Розділ І. Основні поняття математичної статистики

Точкові оцінки.

Означення. Випадковий вектор

зі значеннями в просторі називатимемо вибіркою (вибірковим вектором).

Вибірку

утворену послідовністю незалежних однаково розподілених випадкових величин , кожна з яких має розподіл , називають вибіркою з розподілу (закону)

обсягом

.

Множину

усіх можливих значень вибірки (вибіркового вектора) будемо називати вибірковим простором (далі вибірковий простір - це або його підмножина).

Ми розглядатимемо вибірки, розподіли (функції розподілу) яких залежать від параметра

. Множина можливих значень параметра є підмножиною скінчено-вимірного простору .

Постановка задачі оцінювання параметрів розподілів. Нехай

- реалізація вибірки з розподілом . Розподіл залежить від параметра , який набуває значень із множини . Значення параметра невідоме і його необхідно оцінити (визначити) за реалізацією вибірки . У цьому і полягає задача оцінювання параметрів розподілів.

Єдине, що нам відомо для оцінювання невідомого параметра

- це реалізація вибірки . Крім реалізації вибірки ми не маємо нічого, що несло б інформацію про значення параметра . Тому "оцінити (визначити) за реалізацією (точно чи хоча б наближено)" означає поставити у відповідність реалізації вибірки значення параметра . Формально це означає, що для оцінювання на вибірковому просторі - множині реалізації вибірок - необхідно визначити (побудувати, задати) функцію зі значеннями в - множині можливих значень параметра - таку, що дорівнює або хоча б наближено дорівнює . Значення ми й будемо використовувати як . Зазначимо, що для кожної реалізації значення , яке використовується як , буде своє; тому як функція є випадковою величиною.