Алгоритм решения Диофантовых уравнений (стр. 2 из 8)
Для обоснования данного утверждения рассмотрим следующий пример.
Вычислим несколько значений
соответствующих числу 10 по формуле чётных чисел.2(
1 + 1)=10 1 =42(
2 + 2)=10 2 =32(
3 + 3)=10 3 =2Т.е. переменная
может принимать значения от 1 до ¥.Условием для существования системы уравнений (а) служат лишь условия
и 
.Данные условия слабее условий существования пифагоровых троек, где, если (а, в, с) – пифагорова тройка, то таковою будет и тройка (nа, nв, nс), при всех n = 1, 2, 3 …
Т.е. система (а) должна быть справедливой для всего ряда натуральных чисел, при условии неизменности величин р и f, и условии
3 +1<½K½<¥.Это следует при предположении справедливости уравнения ВТФ –
.У системы уравнений (а) есть 2 варианта:
- I - каждое уравнение системы имеет решение;
- II- каждое из уравнений системы не имеет решений.
Если взять в уравнении системы к = -
3, тогда уравнение примет вид 
Данное уравнение вида
не может иметь решений в целых числах при n>2.Тогда не верно любое уравнение системы и следовательно не верно и уравнение ВТФ.
Рассматривались чётные значения Х, У, Z.
В системе уравнений (а) переменные
I принимают значения всех чисел натурального ряда, и чётных и не чётных. Тогда ВТФ тоже доказана для всего ряда натуральных чисел. Если же рассматривать варианты II и IIIдоказательства ВТФ, тогда функциональные уравнения примут вид:II [2(
1+1)]n=[2( 2+1)-1]n+[2( 3+1)-1]nIII [2(
1+1)-1]n=[2( 2+1)]n+[2( 3+1)-1]nПринципиально в доказательстве ВТФ это ничего не меняет.
Для обоснования данного, довольно – таки экзотического на сегодняшний день метода, далее будут рассмотрены некоторые известные задачи.
Уравнение Пелля
(1)Рассмотрим 3 варианта:
- I Х - чётное число, У - нечётное число, n- нечётное число;
- II Х - нечётное число, У - нечётное число, n- чётное число;
- III Х - нечётное число, У - чётное число, n– любое, и чётное, и нечётное число.
И всегда ½Х½ > ½У½
Вариант I.
Составим функциональное уравнение.
, где, конечно же, 1 > 2Возьмём к = -
2,тогда
После преобразований
(2)где
; 
.Окончательно, после подстановки будет
, где n= 3, 15 . . . . .Проверим при n= 3
а)
, 
б)
, 
Подставим (а) в уравнение (1)
Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет
Подставим (б) в уравнение (1)
Для
Проверка даёт
Для
Проверка даёт
Составим последующее функциональное уравнение.
После упрощения
где
, 
После подстановки
Следующее функциональное уравнение примет вид
После упрощения
где
, 
После подстановки
Получилась система бесконечных решений:
(3) 
Вариант II.
Функциональное уравнение примет вид.
После преобразований будет
, где n чётные числа n= 8, 24 ……Само же выражение идентично формуле (2).
Система бесконечных решений примет вид системы (3).
Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах.
Вариант III.
Также напишем функциональное уравнение.
Опускаю все вычисления, - напишу окончательный результат:
На решении данного уравнения Пелля подтверждено следующее утверждение из доказательства ВТФ:
Или все формулы системы функциональных уравнений имеют решения, или же в системе уравнений нет ни одной такой формулы.