Алгоритм решения Диофантовых уравнений (стр. 7 из 8)
Решение у такой формулы возможно.
7. А < В, Х > УХ – чётное число, У – нечётное число.
Противоречий для существования данной формулы нет.
8. А < В, Х > УХ – нечётное число, У – чётное число.
И окончательно.
Запрета на существование такого уравнения не вижу, но дальнейший анализ не в этой статье.
Вариант II.
9. А > В, Х < УХ – чётное число, У – чётное число.
Уравнение разности квадратов - тогда решений не существует.
10. А > В, Х < УХ – нечётное число, У – нечётное число.
Уравнение реальное - тогда решение есть.
11. А > В, Х < УХ – чётное число, У – нечётное число.
Уравнение реальное.
Пример: 32-23=1
12. А > В, Х < УХ – нечётное число, У – чётное число.
Решение существует.
13. А < В, Х > УХ – чётное число, У – чётное число.
14. А < В, Х > УХ – нечётное число, У – нечётное число.
15. А < В, Х > УХ – чётное число, У – нечётное число.
16. А < В, Х > УХ – нечётное число, У – чётное число.
(а)Для случаев 13, 14, 15, 16 итоговое уравнение одинаковое.
Рассмотрим эти четыре случая чуть подробнее.
, тогда 
После подставим в уравнение (а) получим
, при начальном условии 
.Тогда варианты 13, 14, 15, 16 – не верны.
Из рассмотренных выше задач, при всех вариантах начальных условий, - 8 задач решений в целых числах не имеют.
Для закрепления материала предлагаю рассмотреть два заведомо не имеющих решения уравнения.
Первый пример.
Пусть: А - чётное число.
В - нечётное число.
А > В, Х > У, Х – чётное число, У – нечётное число.
Основное противоречие состоит в условии А > В, Х > У.
,что, конечно же, не возможно, т.к. левая часть всегда больше правой.
Второй пример.
Пусть: А - нечётное число.
В - чётное число.
А > В, Х > У, Х – чётное число, У – нечётное число.
После соответствующих преобразований
,что, конечно же, не возможно.
Гипотеза Биля (ГБ).
, где А, В, С – взаимно простые числа и Х, У, Z > 2.Рассмотрим 2 варианта:
- I А - чётное число, В - нечётное число, С - нечётное число;
- II А - нечётное число, В - чётное число, С - нечётное число.
Строго говоря, чтобы полностью разобрать ГБ, надо рассмотреть все варианты решения уравнений.
Но дело в том, что новый метод исследования диофантовых уравнений говорит о том, что ГБ не верна, т.е. уравнение при некоторых сочетаниях А, В, С,Х, У, Zможет иметь место. По этому будет рассмотрено лишь два примера, которые указывают на возможность решения уравнения.
Вариант I.
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, и А - чётное число, В - нечётное число, С - нечётное число.
Составим функциональное уравнение.
Подразумевая систему функциональных уравнений, возьмём к = -
3 
(1)Возьмём обозначение
Уравнение (1) примет вид уравнения Каталана
И именно из этого и следует наличие решений у уравнения ГБ.
Вариант II.
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, гдеХ,У – нечётные числа, А - нечётное число, В - чётное число, С - нечётное число.
Составим функциональное уравнение.
Решая относительно основания, получим
Проведу преобразование в показателях
После упрощения.
Вполне реальное уравнение, которое должно иметь место.
В настоящей работе представлен сравнительно небольшой анализ. Более серьёзным анализом займусь в зиму 2009-2010 годов.
И приведу один контр пример.
Заведомо противоречивое начальное условие – в примере (а) пусть
Х > У > Z.
Тогда в уравнении Каталана
, 
И тогда не может иметь место знак равенства.
Т.е. задача с заведомо неверными начальными условиями исключается сразу.
Вот почему и есть основание верить в решения в целых числах у уравнения ГБ.
Заключение
Данному алгоритму на момент появления в интернете всего два месяца. Дитё.
Что можно нарешать за два месяца? А больше я себе не могу позволить заниматься не профилирующим предметом в моей трудовой деятельности.
Напоследок хочу коснуться одной практической проблемы при решении Диофантовых уравнений данным методом.
Сколько раз можно «бить» по уравнению, представленным алгоритмом?
Можно по отношению к конкретному уравнению теоретически на единицу меньше, чем число неизвестных в данном уравнении.
Первая стадия – убираем самое меньшее неизвестное. А на второй стадии уже надо знать разницу между оставшимся самым маленьким числом, и предстоящим. Или же не зная этой разницы, вводить параметр.
Почему это происходит?
На первой стадии мы наши неизвестные приблизим к началу числовой оси. Если самое наименьшее число чётное, то оно будет находиться на позиции «два», а если не чётное – то на позиции «один».
И чтобы ещё по уравнению пройтись представленным алгоритмом, надо все неизвестные «откатить» от начала числовой оси на несколько шагов. Приведу простейший пример.
Пусть есть уравнение Х3+У3+Z3=6903
И пусть каким - то одним нам известным способом мы узнаём, что Х, У, Z – нечётные и следуют подряд.
Сдвигаю неизвестные на «шаг» от начала оси.
У=2m+1, при m=6 У=13
Z=2m-1, при m=6 Z=11
при m=6 Х=15
Данный метод позволяет данные вычисления.
Часть 2
Подход к решению уравнений
(1)