Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 4 из 15)

Для элемента

имеются следующие две возможности.

Все степени элемента

различны, т.е. для целых . В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.

Имеются совпадения

при . Если, например, , то и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором называют порядком элемента и пишут

Если группа

совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой. В этом случае в группе имеется элемент такой, что , все элементы в группе являются целыми степенями элемента :

Если элемент

имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и – бесконечная циклическая группа.

Если элемент

имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка , состоит из элементов. В этом случае – конечная циклическая группа порядка .

Две группы

и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех . Факт изоморфизма записывают так: .

Пусть

– группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество

всех элементов группы

вида , где пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Пусть

– подгруппа группы . Подмножество элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если

– правая трансверсаль подгруппы

в группе , то

– конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в правой трансверсали подгруппы , т.е.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы

в группе . Если

– левая трансверсаль подгруппы

в группе , то

Ясно, что индекс подгруппы

в конечной группе совпадает с числом элементов в левой трансверсали подгруппы , т.е. .

Пусть

и – подгруппы группы и . Множество