Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 5 из 15)

называется двойным смежным классом группы

по подгруппам и .

При

двойной смежный класс

превращается в произведение подгрупп

и . В общем случае не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы

и перестановочны, если . Равенство означает, что для любых существуют такие, что .

Если

, то говорят, что группа есть произведение своих подгрупп и , либо группа факторизуема подгруппами и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где .

Подгруппа

называется нормальной подгруппой группы , если для всех .

Запись

читается так: – нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

В каждой группе

тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой группой.

Пусть

– нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е.

Группа

называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Пусть

– простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы

называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа

группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы

называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.

для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа

субнормальна в , то пишут ( ).

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть

– группа, и – ее подгруппы. Напомним, что произведение определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где , .

Произведение

называется прямым, если подгруппы и нормальны в и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования: