Исследование математических операций 2 (стр. 19 из 28)
S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).
Рис. 4.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний: P0(t) - вероятность состояния «канал свободен»; P1(t) - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 4.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
(4.3)
Система линейных дифференциальных уравнений (4.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P0(t) + P1(t) = 1 . Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:
, (4.4)
P1(t) = 1 - P0(t) = 1 . (4.5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, P0 - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т. е.
q = P0(t), (4.6)
По истечении большого интервала времени (при
) достигается стационарный (установившийся) режим: 
, (4.7)
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
. (4.8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
. (4.9)
Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.
Пример 4.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей 
= 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Pотк ;
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
.
2. Вычислим относительную пропускную способность:
.
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
.
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
4. Вероятность отказа:
.
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
5. Определим номинальную пропускную способность системы:
(автомобилей в час).
Оказывается, что Аном в 1,5 раза
больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью
. Интенсивность потока обслуживания равна 
(т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 - «канал свободен»;
S1 - «канал занят» (очереди нет);
S2 - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
…………………………………………………….
Sn - «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);
SN - «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
, (4.10)
где 
; n – номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (4.10) для нашей модели СМО имеет вид
(4.11)
(4.12)
Тогда
Следует отметить, что выполнение условия стационарности 
для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
(4.13)
относительная пропускная способность системы:
(4.14) абсолютная пропускная способность:
(4.15)
среднее число находящихся в системе заявок:
(4.16)
среднее время пребывания заявки в системе:
(4.17)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
(4.18)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
(4.19)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 4.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей: