Смекни!
smekni.com

Исследование математических операций 2 (стр. 20 из 28)

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определя­ется как отношение интенсивностей

и
, т. е.

.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

.

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

.

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

(автомобиля в час)

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удов­летворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомо­били в среднем в 15,8% случаев ( Pотк = 0,158).

Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е.

) Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при

для любого n = 0, 1, 2, ... и когда
<
. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при
для любого n = 0, 1, 2, ... . имеет вид

. (4.20)

Решение данной системы уравнений имеет вид

, n = 0, 1, 2, ... (4.21)

где

.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

 среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

(4.22)

 средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

(4.23)

 среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

(4.24)

 средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

(4.25)

Пример 4.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 4.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероят­ностных характеристик:

 вероятности состояний системы (поста диагностики);

 среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслу­живании и в очереди);

 среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

 среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

 среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение

1. Параметр потока обслуживания

и приведенная интенсив­ность потока автомобилей
определены в примере 4.2:

=0,952;

=0,893.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

и т.д.

Следует отметить, что P0(t) определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаива­ет). В нашем примере она составляет 10,7%, так как P0(t) = 0,107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди):

ед.

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

час.

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

.

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

час.

7. Относительная пропускная способность системы:

q = 1

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена. 8. Абсолютная пропускная способность:

.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагнос­тику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для сто­янки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 4.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

.

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и

= 0,893

автомобиля в час

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквива­лентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить ко­личество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12ч. работы) поста диагностики. Ясно, что ре­шение относительно расширения площади для стоянки автомоби­лей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей кли­ентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Назад | Содержание | Далее

4.2.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

В подавляющем большинстве случаев на практике системы мас­сового обслуживания являются многоканальными, и, следователь­но, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моде­лью, характеризуется интенсивностью входного потока

, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняет­ся
. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Ре­жим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих ка­налов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель исполь­зования n параллельно включенных обслуживающих каналов за­ключается в повышении (по сравнению с одноканальной систе­мой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания од­новременно n клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 - все каналы свободны;

S1 - занят один канал, остальные свободны;

…………………………………………………….

Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…………………………………………………….

Sn - заняты все n каналов, остальные свободны;

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P0 , ... ,Pk, ... Pn будет иметь следующий вид: