Исследование математических операций 2 (стр. 21 из 28)

(4.26)

Начальные условия решения системы таковы:

P₀(0) = 1, P₁(0) = P₂(0) = ... = P_k(0) = ... = P₁(0) = 0 .

Стационарное решение системы имеет вид:

(4.27)

где

.

Формулы для вычисления вероятностей P_k называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

 вероятность отказа:

, (4.28)

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина P_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

 вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q) дополняет P_отк до единицы:

(4.29)

 абсолютная пропускная способность

(4.30)

 среднее число каналов, занятых обслуживанием (

) следующее:

(4.31)

Величина

характеризует степень загрузки СМО.

Пример 4.4. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность

= 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания

= 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения:

 вероятности состояний ВЦ;

 вероятности отказа в обслуживании заявки;

 относительной пропускной способности ВЦ;

 абсолютной пропускной способности ВЦ;

 среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр

потока обслуживании:

2. Приведенная интенсивность потока заявок

.

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (4.27):

.

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

.

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

.

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев. Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных

и можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходили 0,0180. Для этого используем формулу (4.28):

Составим следующую таблицу:

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями

и соответственно; параллельно обслуживаться могут не более S клиентов. Система имеет S каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна -

.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

(4.32)

Решение системы уравнений (4.32) имеет вид

(4.33) (4.34)

где

(4.35)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

.

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

 вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (4.33) и (4.34);

 среднее число клиентов в очереди на обслуживание

; (4.36)

 среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на Обслуживание и в очереди)

; (4.37)

 средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

; (4.38)

 средняя продолжительность пребывания клиента в системе

; (4.39)

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 4.5. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность

= 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно

= 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

 вероятности состояний системы;

 среднее число заявок в очереди на обслуживание;

 среднее число находящихся в системе заявок;

 среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

 среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживаний

2. Приведенная интенсивность потока заявок

,

при этом

.

Поскольку

<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

.

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

.

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

.

6. Среднее число находящихся в системе заявок

.

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

суток.