Исследование математических операций 2 (стр. 22 из 28)
Назад | Содержание | Далее
4.2.3. Модель обслуживания машинного парка
Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания.
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность
входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых зависит от состояния системы, при чем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - k) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (k).
В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью X независимо от других объектов, общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность 
. Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.
Состояние Sk системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным k. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, k = 0, 1, 2, ... , N. При этом если система находится в состоянии Sk , то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N - k).
Если - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то:
;
Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:
(4.40)
Решая данную систему, находим вероятность k-гo состояния:
(4.41) Величина P0 определяется из условия нормирования 
полученных результатов по формулам (4.41) для Pk , k = 0, 1, 2, ... , N. Определим следующие вероятностные характеристики системы:
среднее число требований в очереди на обслуживание:
; (4.42)
среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)
; (4.43)
среднее число механиков (каналов), «простаивающих» из-за отсутствия работы
; (4.44)
коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди
; (4.45) коэффициент использования объектов (машин)
; (4.46) коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)
; (4.47) среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)
. (4.48)Пример 4.6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера - пуассоновский с интенсивностью
= 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: 
=1,25 час.Возможны следующие варианты организации обслуживания:
оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;
каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.
Решение
1. Вычислим параметр обслуживания
.2. Приведенная интенсивность
.3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации обслуживания ПК.
Вариант 1
1. Определим вероятности состояний системы:
Учитывая, что =1 и используя результаты расчета Pk , вычислим P0 :
.Откуда P0 = 0,065.
Тогда
Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание:
Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
.
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:
.
Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле:
.
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так:
. Среднее время ожидания ПК обслуживания
час.Вариант 2
Определим вероятности состояний системы:
Откуда P0 = 0,199.
Тогда
Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково:
Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди рассчитывается так:
Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
.
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:
.
Коэффициент использования компьютеров:
.
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:
. Среднее время ожидания ПК обслуживания:
час.
Сведем полученные результаты по двум вариантам в следующую таблицу:
Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК и любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна
. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.