Исследование математических операций 2 (стр. 23 из 28)

Назад | Содержание | Далее

5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.1. Теоретические основы метода

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Карло) - это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т. д.) в условиях, когда не известны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют совокупность параметров, характеризующих случайный исход реализации. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайностями.

Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математики Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам.

Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теорем Л.Л. Чебышева формулируется так: "При неограниченном увеличении числа независимых испытаний n среднее арифметическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений

случайной величины

, имеющей конечную дисперсию D(

), сходится по вероятности к математическому ожиданию М( ) этой случайной величины». Это можно записать в следующем виде:

, (5.1)

где

- сколь угодно малая положительная величина

Теорема Бернулли формулируется так: "При неограниченном увеличений числа независимых испытаний в одних и тех же условиях частота

наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р, т. е.

, (5.2)

Согласно данной теореме, для получения вероятности какого-либо события, например вероятности состояний некоторой системы

,

, вычисляют частоты

для одной реализации (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного n. Результаты усредняют и этим самым с некоторым приближением, получают искомые вероятности состояний системы. На основании вычисленных вероятностей определяют другие характеристики системы. Следует отметить, что, чем больше число реализаций n, тем точнее результаты вычисления искомых величин (вероятностей состояний системы).

Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в:

 разработке и построении структурной схемы процесса, выявлении основных взаимосвязей;

 формальном описании процесса;

 моделировании случайных явлений (случайных событий, случайных величин, случайных функций), сопровождающих функционирование исследуемой системы;

 моделировании (с использованием данных, полученных на предыдущем этапе) функционирования системы - воспроизведении процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;.

 накоплении результатов моделирования, их статистической обработке, анализе и обобщении.

В отличие от описанных ранее математических моделей, результаты которых отражали устойчивое во времени поведение системы, результаты, получаемые при статистическом моделировании, подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что любое утверждение, касающееся характеристик моделируемой системы, должно основываться на результатах соответствующих статистических проверок.

Экспериментальные ошибки при статистическом моделировании в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование исследуемой системы.

Известно, что при изучении вероятностных систем случайные явления могут интерпретироваться в виде случайных событий, случайных величин и случайных функций. Следовательно, моделирование случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин и случайных функций. Так как случайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то и моделирование случайных событий и случайных функций производится с помощью случайных величин. В связи с этим рассмотрим сначала способы моделирования случайных величин.

Моделирование случайных величин

Для моделирования случайной величины необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, в основе которого лежит их формирование из исходной последовательности случайных чисел, распределенных в интервале [0,1] по равномерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0,1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

 использование таблиц случайных чисел;

 применение генераторов случайных чисел;

 метод псевдослучайных чисел.

При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего используют таблицы случайных чисел. В таблицах случайных чисел случайные цифры имитируют значения дискретной случайной величины с равномерным распределением:

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая из этих цифр от 0; 1;...; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью p_i = 0,1.

Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1000 000 цифр. Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специальных статистических тестов.

При решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1], могут применяться генераторы случайных чисел. Данные генераторы преобразуют результаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют собственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

Недостатки данного способа получения случайных чисел следующие:

1. Трудно проверить качество вырабатываемых чисел.

2. Случайные числа не воспроизводимы (если их не запоминать), и, как следствие, нельзя повторить расчет на ЭВМ для исключения случайного сбоя.

Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения заключается в выработке псевдослучайных чисел. Псевдослучайные числа - это числа, полученные по какой-либо формуле и имитирующие значения случайной величины. Под словом "имитирующие" подразумевается, что эти числа удовлетворяют ряду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел предложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

и т.д.

Алгоритм себя не оправдал: получилось больше, чем нужно, малых значений

- случайных чисел. В настоящее время разработано множество алгоритмов для получения псевдослучайных чисел.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел.

1. На получение каждого случайного числа затрачивается несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.

2. Малый объем памяти ЭВМ для программирования.

3. Любое из чисел легко воспроизвести.

4. Качество генерируемых случайных чисел достаточно проверить один раз.

Подавляющее число расчетов по методу Монте-Карло осуществляется с использованием псевдослучайных чисел. От последовательности случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1], нетрудно перейти к последовательности случайных чисел с произвольным заданным законом распределения.