Исследование математических операций 2 (стр. 26 из 28)

Считают, что интервалы времени между отказами

t_1k,

t_2k, ....

t_pk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами f(

t₁), f(

t₂) , … , f(

t_p) .

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом k-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(5.4)

или

.

где t_ik - время работы (наработка) элемента до i-го отказа в k–м опыте, час,

, .

t_ik - время работы (наработка) элемента между (i-1)-м и i-м отказами в k–й реализации, час,

,

.

Числа t_1k, t_2k, ... ,t_pk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока службы системы. Изучением таких процессов занимается теория восстановления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа процессов:

 простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами F_i (t) равны;

 общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом-изготовителем, отличается от вида функций распределения наработок элементов при последующих заменах, т. е.

, i = 2, 3, 4,…

 сложный, при котором все функции распределения F_i (t) различны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления

и ее дифференциальная характеристика - плотность восстановления

, определяемые по следующим формулам:

; (5.5)

; (5.6)

где F_n(t) и f_n(t) - соответственно плотность и функция распределения наработки до n-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения F_n(t) наработок до n-го отказа находятся путем последовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

; (5.7)

F₁(t) = F(t) .

Следует отметить, что сложность получения аналитических выражений для

и

по формулам (5.5), (5.6) состоит в том, что свертка (5.7) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности

и функции восстановления

ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета

и

является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл. 5.1) моделируются массивы случайных величин

t_ik между (i-1)-м и i-м отказами Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа t_ik по следующим формулам:

; (5.8)

, (5.9)

где i – номер отказа,

k – номер реализации при моделировании,

p – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса

Затем полученные случайные величины наработок t_ik группируются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникновения отказов t_1k, t_2k, ... ,t_ik, ... , t_pk определяются по формуле:

, (5.10)

где

- наименьшее целое число, не меньшее

;

t_i - величина интервала времени

Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяется по следующим формулам:

; (5.11)

; (5.12)

где n_ij - число попаданий случайной наработки до i-го отказа t_ik в j-й интервал времени (

) за N реализаций.

; (5.13)

. (5.22)

где h - максимальное число интервалов времени.

Пример 5.5. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

№ отказа	Закон распределения	Параметры закона
		a( )	b
1	Вейбула	1,4	45,8
2	Экспоненциальный	0,3	-

Определите номера временных интервалов, на которых про изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (

t_i = 1 час).

Решение

1. Выберем равномерно распределенное случайное число. До пустим

i = 0,725.

2. Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента используя формулы табл. 5.1.

час.;

;

час.;

час.

3. Определим номер временного интервала, на котором произойдут отказы

первый отказ

;

второй отказ

.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

Назад | Содержание | Далее

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 5.1