Смекни!
smekni.com

Исследование математических операций 2 (стр. 1 из 28)

ВВЕДЕНИЕ. ДИСЦИПЛИНА ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И ЧЕМ ОНА ЗАНИМАЕТСЯ

Формирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последу­ющие полтора десятилетия были отмечены широким применением полу­ченных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенци­альных возможностей теории. В результате исследование операций при­обрело черты классической научной дисциплины, без которой немыс­лимо базовое экономическое образование.

Обращаясь к задачам и проблемам, составляющим предмет исследо­вания операций, нельзя не вспомнить о вкладе, внесенном в их решение представителями отечественной научной школы, среди которых в пер­вую очередь должен быть назван Л. В. Канторович, ставший в 1975 г. лауреатом Нобелевской премии за свои работы по оптимальному ис­пользованию ресурсов в экономике.

Начало развития исследования операций как науки традицион­но связывают с сороковыми годами двадцатого столетия. Среди первых исследований в данном направлении может быть назва­на работа Л. В. Канторовича "Математические методы органи­зации и планирования производства", вышедшая в 1939 г. В за­рубежной литературе отправной точкой обычно считается вышедшая в 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная реше­нию линейных экстремальных задач.

Следует отметить, что не существует жесткого, устоявше­гося и общепринятого определения предмета исследования опе­раций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что "исследование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами".

Второе определение: Исследование операций – это научная подготовка принимаемого решения – это совокупность методов, предлагаемых для подготовки и нахождения самых эффективных или самых экономичных решений.

Природа систем, фигурирующих в приведенном определении под именем "организационных", может быть самой различной, а их общие математические модели находят применение не толь­ко при решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социологических исследованиях и других практи­ческих сферах. Кстати, само название дисциплины связано с применением математических методов для управления военны­ми операциями.

Несмотря на многообразие задач организационного управ­ления, при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование. Как правило, это:

1. Постановка задачи.

2. Построение содержательной (вербальной) модели рас­сматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возмож­ных управляющих воздействий, влияющих на достижение сфор­мулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

3. Построение математической модели, т. е. перевод сконст­руированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

4. Решение задач, сформулированных на базе построенной математической модели.

5. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная коррек­тировка первоначальной модели.

6. Реализация полученного решения на практике.

Центральное место в данном курсе отведено вопросам, отно­сящимся к четвертому пункту приведенной выше схемы. Это делается не потому, что он является самым важным, сложным или интересным, а потому, что остальные пункты существенно зависят от конкретной природы изучаемой системы, в силу чего для действий, которые должны производиться в их рамках, не могут быть сформулированы универсальные и содержательные рекомендации.

В самых разнообразных областях человеческой деятельности встречаются сходные между собой задачи: организация производства, эксплуатация транспорта, боевые действия, расстановка кадров, телефонная связь и т.д. Возникающие в этих областях задачи сходны между собой по постановке, обладают рядом общих признаков и решаются сходными методами.

Пример:

Организуется какое-то целенаправленное мероприятие (система действий), которое можно организовать тем или иным способом. Необходимо выбрать определенное решение из ряда возможных вариантов. Каждый вариант имеет преимущества и недостатки – сразу не ясно, какой из них предпочтительнее. С целью прояснить обстановку и сравнить между собой по ряду признаков различные варианты, организуется серия математических расчетов. Результаты расчетов показывают, на каком варианте остановится.

Математическое моделирование в исследовании операций является, с одной стороны, очень важным и сложным, а с дру­гой - практически не поддающимся научной формализации процессом. Заметим, что неоднократно предпринимавшиеся по­пытки выделить общие принципы создания математических мо­делей приводили либо к декларированию рекомендаций самого общего характера, трудноприложимых для решения конкрет­ных проблем, либо, наоборот, к появлению рецептов, примени­мых в действительности только к узкому кругу задач. Поэтому более полезным представляется знакомство с техникой математического моделирования на конкретных примерах.

1) План снабжения предприятия.

Имеется ряд предприятий, использующих различные виды сырья; имеется ряд сырьевых баз. Базы связаны с предприятиями различными путями сообщения (железные дороги, автотранспорт, водный, воздушный транспорт). Каждый транспорт имеет свои тарифы. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем, чтобы потребности в сырье были удовлетворены при минимальных расходах на перевозки.

2) Постройка участка магистрали.

Сооружается участок железнодорожной магистрали. В нашем распоряжении определенное количество средств: людей, техники и т.п. Требуется назначить очередность работ, распределить людей и технику по участкам пути таким образом, чтобы завершить строительство в минимальные сроки.

3) Выборочный контроль продукции.

Выпускается определенный вид изделий. Для обеспечения высокого качества продукции требуется организовать систему выборочного контроля: определить размер контрольной партии, набор тестов, правила отбраковки и т.д. Требуется обеспечить заданный уровень качества продукции при минимальных расходах на контроль.

4) Военные действия.

Целью в данном случае является уничтожение вражеского объекта.

Подобные задачи встречаются в практике часто. Они имеют общие черты. В каждой задаче определена цель – цели эти похожи; заданы некоторые условия – в рамках этих условий и нужно принять решение, чтобы данное мероприятие было наиболее выгодным. В соответствии с этими общими чертами применяются и общие методы.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Цель и основные понятия в исследованиях операций

Операция – это всякая система действий (мероприятие), объединенных единым замыслом и направленных к достижению какой-то цели. Это управляемое мероприятие, то есть от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие его организацию.

Каждый определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением.

Целью исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут быть различные числа, векторы, функции, физически признаки и т.д.

Пример: перевозка однородного груза.

Существуют пункты отправления: А1, А2, А3,…, Аm.

Имеются пункты назначения: В1, В2, В3,…, Вn.

Элементами решения здесь будут числа xij, показывающие, какое количество грузов будет отправлено из i-того пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Совокупность этих чисел: x11, x12, x13,…, x1m,…, xn1, xn2,…, xnm образует решение.

Чтобы сравнить между собой различные варианты, необходимо иметь какой-то количественный критерий – показатель эффективности (W). Данный показатель называется целевой функцией.

Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Выбирая решение, стремимся, чтобы данный показатель стремился к максимуму или к минимуму. Если W – доход, то W

max; а если W – расход, то W
min.

Если выбор зависит от случайных факторов (погода, отказ техники, колебания спроса и предложения), то в качестве показателя эффективности выбирается среднее значение – математическое ожидание –

.

В качестве показателя эффективности иногда выбирают вероятность достижения цели. Здесь цель операции сопровождается случайными факторами и работает по схеме ДА-НЕТ.

Для иллюстрации принципов выбора показателя эффективности вернемся к рассмотренным ранее примерам:

1) План снабжения предприятия.

Показатель эффективности виден в цели. R – число – стоимость перевозок,

. При этом все ограничения должны быть выполнены.

2) Постройка участка магистрали.

В задаче большую роль играют случайные факторы. В качестве показателя эффективности выбирают среднее ожидаемое время окончания стройки

.