Действительно, функция

является решением уравнения (2) при

, причем

. В силу единственности

и

совпадают при всех

. Применяя аналогичное рассуждение к решению

, получим, что

определено при

и функции

и

совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить

на все

, при этом должно выполняться тождество

,
то есть

— периодическая функция с наименьшим периодом.
Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:
положение равновесия;
замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;
траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.
Рассмотрим автономную линейную однородную систему

(3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и

. В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду

,
где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:
1)

вещественны, различны и

. В этом случае

. Параметрические уравнения траекторий таковы:

. Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими

или

. При

и

.
Картина расположения траекторий при

, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.
2)

вещественны и

. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.
3)

комплексно-сопряженные. Пусть

. В преобразовании X = SY

, где

и

— линейно независимые собственные векторы, соответствующие

и

. Так как А вещественна,

и

можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и

. Положим

,

, а в качестве фазовой плоскости возьмем

. Переменная

связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где

,

. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.
Введем полярные координаты

, или

,

. Имеем:

. Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.
Следовательно,

. При

траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При

все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.
4)

. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

Решением этой системы будет функция

. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. . Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел