Інтегральні характеристики векторних полів (стр. 3 из 4)

або

,

де

– об’єм області , а – деяка точка області .

Зафіксуємо точку

і стягуватимемо область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді , а прямуватиме до . Внаслідок неперервності значення прямуватиме до . Таким чином, отримуємо

. (9)

У праву частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи координат.

6. Циркуляція векторного поля

Розглянемо векторне поле

, визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку криву , на якій вказано напрям обходу (вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай – одиничний дотичний вектор до кривої у точці , напрямлений в сторону обходу кривої.

Криволінійний інтеграл

(10)

називається циркуляцією векторного поля

вздовж кривої у заданому напрямі.

Якщо взяти інший напрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор

змінить напрям на протилежний, тому скалярний добуток , а, отже, і циркуляція (криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.

Якщо

– силове векторне поле, тобто – вектор сили, то циркуляція визначає роботу силового векторного поля вздовж кривої в заданому напрямі.

Якщо в прямокутній системі координат

, а , то вираз (10) для циркуляції векторного поля можна записати в вигляді

. (11)

Кожний доданок у правій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума, тобто циркуляція

, очевидно, не залежить від вибору системи координат.

Якщо ввести вектор

, то циркуляцію можна записати у вигляді (порівняйте з правою частиною рівності (11)).

7. Формула Стокса у векторній формі

Нехай в області

визначено векторне поле ; – замкнений контур, який лежить в області ; – довільна поверхня, межею якої є контур ; («поверхня натягнута на контур »); – одиничний вектор нормалі на обраній стороні поверхні .

Нехай функції

та їхні частинні похідні першого порядку неперервні на поверхні . Тоді справедлива формула Стокса

,

де орієнтація контуру

узгоджена з орієнтацією поверхні . Ліва частина формули Стокса є циркуляцією векторного поля вздовж контура , а права частина визначає потік через поверхню векторного поля з координатами , тобто потік через поверхню . Тому формулу Стокса можна записати у векторній формі:

(12)

або

. (13)

Фізичний зміст формули Стокса: циркуляція векторного поля

вздовж замкненого контуру дорівнює потоку ротора векторного поля через поверхню, натягнуту на цей контур.

8. Властивості потенціального поля

Як відомо, векторне поле

, яке задовольняє в області умову , називається потенціальним у цій області ( – скалярний потенціал поля ). Якщо поле потенціальне в області , то і вираз є повним диференціалом функції в області . Це означає, що виконана умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування в просторі.

Таким чином, потенціальне в області

поле має такі властивості.

1. Циркуляція потенціального поля

вздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю:

.

2. Для довільних точок

і області циркуляція потенціального поля вздовж кривої не залежить від вибору кривої і дорівнює різниці значень потенціала в точках і :