Інтегральні характеристики векторних полів (стр. 4 из 4)

.

У випадку силового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого поля вздовж кривої

не залежить від вибору кривої, а залежить тільки від початкової і кінцевої точок і .

3. Потенціальне поле

є безвихровим, тобто .

Нехай тепер дано векторне поле

, яке задовольняє в області умову . Чи випливає звідси, що поле є потенціальним в області ? Відповідь на це запитання залежить від форми області . Якщо область є поверхнево однозв’язною, то із умови випливає, що існує функція така, що

.

Отже,

, тобто поле є потенціальним в області .

Таким чином, умова

є необхідною і достатньою умовою потенціальності поля у поверхнево однозв’язній області.

Потенціал

потенціального поля у поверхнево однозв’язній області можна обчислити за формулою:

. (14)

Якщо область

не є поверхнево однозв’язною, то умова не є достатньою для потенціальності поля в області .

9. Інваріантне означення ротора

Нехай в області

визначено векторне поле . Зафіксуємо точку і деяку площину, яка проходить через цю точку. Нехай – одиничний вектор нормалі до площини, – замкнений контур, який лежить в площині і обмежує область таку, що – внутрішня точка області . Запишемо формулу (12) для векторного поля в області . Застосовуючи до правої частини цієї формули теорему про середнє, отримуємо

,

диференціальне векторне поле формула соленоїдальне

звідки

,

де

– площа області , – деяка точка області .

Стягуватимемо область

до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді , а прямуватимемо до . Внаслідок неперервності значення прямуватимемо до . Таким чином, отримуємо

.

У праву частину формули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області). Тому дана формула дає інваріантне означення проекції

в точці на напрям, який виражається заданим вектором .

Отже, проекція ротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам

залежить тільки від векторного поля і не залежить від вибору системи координат.

Для означення вектора

вищезазначеним способом достатньо розглянути в заданій точці проекції на три довільних некомпланарних напрями. Такими трьома проекціями визначається однозначно.

Размещено на