Предельные точки (стр. 2 из 6)

Доказательство: достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:

Такое представление единственно. Высотой рационального числа

назовем величину . Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3,… и т.д. При фиксированном существует не более различных несократимых дробей, т.к. тогда знаменатель может принимать значения 1,2,…, , а для данного числитель числа может принимать не более двух значений: . Таким образом, с данной высотой число рациональных чисел не более .

Будем нумеровать дроби в порядке возрастания

; при фиксированном в порядке возрастания , а при фиксированных и - в порядке возрастания . Тогда получим:

и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,… будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств

и .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Исходя из этого определения, можно упомянуть о некоторых теоремах:

1. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

2. Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

3. Сумма конечного числа счетных множеств – тоже счетное множество.

4. Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.

5. Сумма конечного или счетного множества множеств, каждое из которых конечно или счетно, есть конечное или счетное множество.

6. Множество всех рациональных чисел счетно.

7. Множество

всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.

Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство: занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе - счетно.

Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.

Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по схеме:

За

шагов будут заведомо занумерованы все элементы .

Стоит обратить внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1: совокупность

всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X. Эта теорема (точнее, ее модификация ~ ) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.

Доказательство: (от противного). Пусть

~ . Значит имеется биективное соответствие Тогда, если , то ему однозначно соответствует . Теперь всякую точку назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если . В противном случае эту точку будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество , состоящее из всех особых точек . Тогда ясно, что является элементом множества . В силу наличия взаимно однозначного соответствия между и найдется такая точка . При этом сама точка обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы , что невозможно, т. к. ко множеству по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, т. к. тогда по определению особой точки , а с другой стороны, тогда точка как особая точка должна войти в дефект по его построению.

Таким образом, предположение о существовании биекции между

и во всех случаях ведет к противоречию, т. е. и не эквивалентны.

Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы справедливы в том случае, когда

есть пустое множество. Тогда мощность множества равна 0, а множество состоит ровно из одного элемента, т. е. самого и поэтому мощность равна .

Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно

. По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств , а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1.

Прием, с помощью которого доказана теорема 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Кантором в 1874 г. При доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве

взять натуральный ряд , то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно .