Предельные точки (стр. 4 из 6)

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку

множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств

, входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть

; тогда , — открытое ядро , — открытое ядро , — граница (не принадлежит ).

Пример 5.

— множество точек с рациональными координатами. — открытое ядро — пустое множество, — открытое ядро — пустое множество, — граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве

.

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть

и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть

и все замкнуты. Если и , то все при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества

, заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В

замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка

представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы

, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание

есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть

. Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества

предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если — замкнутое множество, то .

Точка

называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.