Предельные точки (стр. 5 из 6)

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция

задана на множестве . Говорят, что она непрерывна в точке на множестве , если для любой последовательности точек , сходящейся к .

Заметим, что согласно данному определению любая функция, определенная на

, непрерывна в изолированных точках .

Точка

называется изолированной, если существует шарик с центром в , не содержащий в себе других точек , кроме . Поэтому если задано, что и , то это может быть, лишь если для некоторого будет для всех , но тогда

. (1)

Если функция

, определенная на , непрерывна в любой точке , то говорят, что непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобщают соответствующие свойства непрерывных функций от одной переменной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция

, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на

; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

(2)

Полученная последовательность

ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке Вследствие замкнутости точка принадлежит , а в силу непрерывности в на , и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция

, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что

ограничена на . Поэтому она имеет на конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального

найдется точка такая, что

(3)

Полученная последовательность

ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости точка принадлежит , и в силу непрерывности на . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу . Но тогда

.

Аналогично доказывается существование точки

, в которой достигает минимума на :

.

Рассмотрим снова пока произвольное множество

и определенную на нем не обязательно непрерывную функцию , но ограниченную на . Зададим число и введем величину

, (4)

называемую модулем непрерывности

на множестве . В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений , соответствующих всевозможным парам точек , отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем .

Модуль непрерывности есть функция от

, очевидно, неотрицательная. Она не убывает, потому что если , то

Поэтому существует предел

(5)

Введем определение.

1) Функция

называется равномерно непрерывной на множестве , если ее модуль непрерывности на стремится к нулю при , т.е.