Предельные точки (стр. 6 из 6)

(6)

Приведем другое эквивалентное определение.

2) Функция

называется равномерно непрерывной на , если для любого найдется такое , что для любых с имеет место

Определение 1) влечет за собой 2).

Потому что из 1) следует, что для любого

найдется такое , что

, и

Обратно, если имеет место 2), то, задав

и подобрав так, как это сказано в 2), получим

и так как

монотонно не убывает, то отсюда следует (6), т. е. 1).

Докажем теперь важную теорему.

Теорема 3. Функция

, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве , равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует

такое, что для любого натурального найдется пара точек

, , (7)

для которых

(8)

В силу ограниченности последовательности

и замкнутости существует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и , и потому вследствие непрерывности в

что противоречит (8).

Рассмотрим числовое множество

. Точка называется точкой сгущения этого множества, если в любой окрестности этой точки содержатся значения из , отличные от . Сама точка сгущения при этом может принадлежать или нет. Например, если или , то в обоих случаях является точкой сгущения для , но в первом случае она сама содержится в , а во втором – нет.

В предположении, что

есть точка сгущения для , можно извлечь из - и притом бесчисленным множеством способов - такую последовательность

(9)

значений

, отличных от , которая имела бы своим пределом . Действительно, задавшись последовательностью положительных чисел , сходящейся к нулю, в каждой окрестности точка (при ) найдем по точке из ,отличной от ; так как , то .

Пусть теперь в области

, для которой является точкой сгущения, задана некоторая функция . Представляет интерес поведение этой функции при приближении к . Говорят, что функция имеет предел , конечный или нет, при стремлении к (в точке ), если какую бы последовательность (9) с пределом , извлеченную из , ни пробегала независимая переменная , соответствующая последовательность значений функции

всегда имеет предел

. Обозначается это так:

или

при .

Предположим теперь, что множество

содержит сколь угодно большие положительные значения ; тогда говорят, что является точкой сгущения этого множества. Если под окрестностью точки разуметь промежуток , то можно высказанное предположение представить и такой форме: в каждой окрестности точки должны содержаться числа из множества .

Если это предположение выполнено, то можно из

выделить последовательность (9), имеющую пределом . Действительно, взяв любую положительную переменную , стремящуюся к , для каждого (при ) найдем в значение ; очевидно, .

В предположении, что

является точкой сгущения для , рассмотрим определенную в этой области функцию . Для нее можно установить понятие предела при : .

Используемая литература

1. Б.З. Вулих «Введение в функциональный анализ», Москва, 1967 г.

2. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков «Лекции по математическому анализу», Москва, 1999 г.

3. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», Москва, 1960 г.