Предельные точки (стр. 1 из 6)

Федеральное агентство по образованию

Кафедра общей математики

Курсовая работа по математическому анализу на тему:

«Предельные точки»

2008

Содержание:

Введение

1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

2. Замкнутые и открытые множества

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Заключение

Используемая литература

Введение

Начинать курсовую работу по этой теме, на мой взгляд, стоит с определения понятия множество, так как оно является одним из основных понятий математического анализа.

Множество − это совокупность объектов любой природы. Определение множества есть описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками. Для обозначения различных множеств чаще всего используются заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств – малые (строчные) буквы.

Два множества

называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывают так: или .

Если элемент a принадлежит множеству А, то пишут:

, если же не принадлежит, то записывают так: .

Если все элементы множества

принадлежат множеству , то называется подмножеством множества , и пишут: .

Очевидно, что если

и , то .

Обычно, удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества

, которое называют универсальным.

Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве

, нужен четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в . Если обозначить это условие через , то тот факт, что условие порождает множество , записывают следующим образом: .

Может оказаться так, что для некоторого свойства

во всем множестве вообще нет элементов, которые удовлетворяют данному условию. В таком случае говорят, что это пустое множество, оно не содержит ни одного элемента.

Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические знаки, называемые кванторами:

Множество

называется объединением (или суммой) множеств и ,если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.

Обозначается это так:

.

Свойства:

.

Пересечением множеств

и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и , т.е. элементов, общих для этих множеств. Доказать равенство двух множеств - это значит доказать, что всякий элемент , принадлежащих правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Для произвольной совокупности множеств

, где пробегает все элементы некоторого множества , пишут

,

если

есть объединение всех множеств

Аналогично,

, если − пересечение всех множеств .

Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.

1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них.

множество всех чисел натурального ряда; множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль).

О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных − нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества − это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» − синонимы.

Множества

и называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: ~ . Свойства: ~ ; ~ ~ ; ~ , ~ ~ .

Если

и эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Можно привести важный пример эквивалентности бесконечных множеств.

Утверждение 1: Множество

(натуральных чисел) и множество (рациональных чисел, т.е. всех дробей ) эквивалентны.