Числовые ряды 3 (стр. 2 из 7)

расходится; при q=-1ряд

принимает вид

а – а + а – а +...- в этом случае

при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Гармонический ряд.

Нахождение n-й частичной суммы

и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема.

Если ряд

сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Пусть ряд

сходится и . Тогда и . Учитывая, что при n>1, получаем:

.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если

или этот предел не существует, то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме)

. Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.

Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия

не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд

Очевидно, что

. Однако ряд расходится.

Как известно,

. Отсюда следует, что при любом имеет место неравенство . Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим:

,

т.е.

,

Подставляя в полученное неравенство поочередно n=1, 2, …, n – 1, n, получим:

Сложив почленно эти неравенства, получаем

. Поскольку , получаем , т.е. гармонический ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения рядов.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема1.

Пусть даны два знакоположительных ряда

и

Если для всех n выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда

следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Обозначим n-е частичные суммы рядов

и соответственно через и . Из неравенства следует, что

Пусть ряд

сходится и его сумма равна . Тогда . Члены ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства . таким образом, последовательность ( ) монотонно возрастает ( ) и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательность имеет предел , т.е. ряд сходится.

Пусть теперь ряд

расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . Тогда с учетом неравенства получаем , т.е. ряд расходится.

Теорема2(предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда

и . Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого

выполняется неравенство , или .

Если ряд

сходится, то из левого неравенства и теоремы1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд сходится.