Числовые ряды 3 (стр. 7 из 7)

или

Докажем формулу

Пусть f(x)=arctg x

Положив в формуле

и заменив х на , получим равенство

Тогда

или

Докажем формулу

Пусть f(x)=arcsin x

Положив в формуле

и заменив х на , получим равенство

Тогда

или

Некоторые приложения степенных рядов

Приближенное вычисление значений функции

Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при

с заданной точностью

Если функцию f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в степенной ряд

и

, то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е.

а приближенное – частичной сумме

, т.е.

Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

,

где

Таким образом, ошибку

можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. И в качестве оценки

берут величину остатка этого нового ряда.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном итоге через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить

с точностью до . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням xи интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.