Економіко-математичні методи і алгоритми (стр. 1 из 3)
Завдання 1
У наведеній далі задачі виконати такі дії:
1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;
1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;
1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;
1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;
1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.
Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.
| Ресурс | Норма витрат на одиницю продукції за видами | Запас ресурсу | |||
| А | В | С | Д | ||
| 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 280 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 80 |
| 3 | 1 | 5 | 0 | 0 | 250 |
| Ціна одиниці продукції (ум. од.) | 4 | 3 | 6 | 7 | |
Розв'язання:
1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такий вигляд:
де
– обсяг виробництва продукції 
го виду ( 
); 
де
– оцінка одиниці 
го виду ресурсу ( 
).Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:
| Базис | Сбаз | План | 4 | 3 | 6 | 7 | 0 | 0 | 0 | |
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 | ||||
| х5 | 0 | 280 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 140 |
| х6 | 0 | 80 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| х7 | 0 | 250 | 1 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 250 |
 | 0 | -4 | -3 | -6 | -7 | 0 | 0 | 0 | ||
| х1 | 4 | 200 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| х6 | 0 | 80 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| х7 | 0 | 250 | 0 | 1 | -4 | 0 | -3 | 0 | 1 | 250 |
| | 560 | 0 | -3 | 10 | 2 | 4 | 0 | 0 | ||
Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі, має вигляд:
| Базис | Сбаз | План | 4 | 3 | 6 | 7 | 0 | 0 | 0 |
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 | |||
| х2 | 3 | 50 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 | 1 | 1/5 |
| х5 | 0 | 150 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | -1 | -1/5 |
| х4 | 7 | 80 | 0 | 1 | 3/5 | 0 | 0 | 4/7 | 0 |
| | 710 | 3,6 | 0 | 1 | 0 | 0 | 7 | 0,6 | |
З наведеної симплекс-таблиці маємо:
;min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.
Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається (х1 = х3 = 0). Додаткові змінні х5, х6, х7 характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х5 = 150, то перший ресурс використовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси – повністю (х6 = х7 =0). За такого оптимального виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 710 ум. од.
План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, y2 = 7 та y3 = 0,6 відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y1 = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. од.
Статус ресурсів прямої задачі можна визначити за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний. В даному випадку другий та третій ресурси є дефіцитними, а перший ресурс не є дефіцитним.
Якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на 1 ум. од.
, то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на y2 = 0,1 ум. од. і становитиме max Z = 710,1 ум. од. Елементи стовпчика «х6» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці y2 дають інформацію про зміни в оптимальному плані. У новому оптимальному плані значення змінної х4 збільшиться на 1, значення х5 збільшиться на 1,3, а значення х2 зменшиться на 2,3. Нові оптимальні значення змінних будуть такими: 
. Отже, збільшення запасу другого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та зменшення випуску продукції В, а обсяг використання першого ресурсу збільшиться. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде max Z = 710,1, тобто зросте на y2 = 0,1.Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшиться на одиницю
. Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці, можна записати новий оптимальний план: 
, max Z = 710 + 0,6 = 710,6 ум. од.Отже, дохід підприємства збільшиться на 0,6 ум. од. за рахунок збільшення виробництва продукції В на 0,20 од.
Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, в межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.
Приріст (зміну) запасу ресурсу 2 позначимо
. Тоді новий обсяг ресурсу становитиме 
і новий оптимальний план 
Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності, тобто
.Це означає, що коли запас ресурсу 2 збільшиться на 150 од. або зменшиться на 80 од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 2 залишиться y2 = 7. Отже, запас ресурсу 2 може змінюватися у межах
, 
.Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах
, 
.Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки дефіцитного ресурсу 3:
.Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 750 од. або зменшиться на 250 од., то двоїста оцінка y3 = 0,6 цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно з цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах
,Оцінка рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, виконується за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, що характеризують кожний вид продукції.
Підставимо
у систему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищує ціну цієї продукції (права частина), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна. 