Многомерные пространства понятие и виды (стр. 11 из 17)

Пусть движение f пространства Е_n порождено ортогональным преобразованием

пространства переносов V. Возьмём в Е_n две произвольные точки M и N и пусть f(M) = M', f(N) = N'. Тогда . А так как - ортогональное преобразование пространства V и, значит, сохраняет длину вектора, то

.

Следовательно, движение пространства Е_n сохраняет расстояние между двумя точками этого пространства.

Справедливо и обратное утверждение:

Теорема. Если преобразование f евклидова пространства Е_n сохраняет расстояние между двумя точками, то f – движение.

▲Возьмём три произвольные точки О, А, В. Тогда

,

. (1)

Пусть преобразование f переводит точки О, А, В в точки О', А', В' соответственно. Тогда можно написать равенство, аналогичное равенству (1):

. (2)

По условию теоремы правые части равенств (1) и (2) равны; следовательно, равны и левые части. Отсюда

. (3)

Пусть

- ортонормированный репер в Е_n и, значит, векторы единичные, попарно ортогональные. Если

f (O) = O', f (A_i) = A_i', то в силу формулы (3) векторы

тоже единичные, попарно ортогональные и, следовательно, репер ортонормированный. Возьмём произвольную точку , и пусть f (M) = M'. Обозначим через xⁱ координаты точки М в репере R, а через yⁱ – координаты точки М' в репере R'. Тогда

и, следовательно, преобразование f есть движение. ▲

2. Пусть V – евклидово векторное пространство размерности n. Линейное преобразование

пространства V называется ортогональным, если оно переводит ортонормированный базис

в ортонормированный базис

или, что равносильно этому, если оно сохраняет скалярное произведение векторов.

Пусть

- матрица перехода от базиса к базису

:

.

Тогда

.

Учитывая, что базисы

и

ортонормированные, находим:

Таким образом, матрица С обладает следующим свойством: сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна нулю.

Квадратная матрица, обладающая этим свойством, называется ортогональной.

Заметим, что если базис

задан, то матрица С определяет линейное преобразование

(так как она определяет базис

). Поэтому можно высказать следующее утверждение6 в ортонормированном базисе всякое ортогональное преобразование

определяется с помощью ортогональной матрицы С.

Обратно, пусть

- ортонормированный базис евклидова векторного пространства размерности n. Возьмём какую-либо ортогональную n n матрицу и рассмотрим векторы

. Равенства (6) и (7) показывают, что векторы

единичные и попарно ортогональные и, значит, образуют ортонормированный базис

. Следовательно, линейное преобразование пространства V, переводящее базис в базис

, является ортогональным. Иначе говоря, если линейное преобразование

евклидова векторного пространства задаётся в каком-либо ортонормированном базисе при помощи ортогональной матрицы, то преобразование

ортогональное.

Нетрудно заметить, что равенства (6) и (7) равносильны одному матричному равенству:

С'С = Е (8)

(где Е – единичная матрица), или, что то же самое, равенству:

С' = С^-1.

Следовательно, матрица С ортогональная тогда и только тогда, когда транспонированная матрица С' равна обратной матрице С^-1.

(8)

(С')' = (С')^-1;

значит, если матрица С ортогональная, то и транспонированная матрица С' ортогональна.

Далее имеем:

(8)

det (C') * det (C) = 1. (9)

Как известно из алгебры, det (C') = det (C), и равенство (9) принимает вид:

(det (C))² = 1

det (C) = 1,

Определитель ортогональной матрицы равен

1.

3. Пусть движение f пространства E_n задано упорядоченной парой ортонормированных реперов

. Так как движение f – частный случай аффинного преобразования, то координаты yⁱ точки М' = f(М) относительно репера R выражаются через координаты xⁱ точки М относительно того же репера по формулам вида:

что можно записать в матричной форме одним равенством:

y = Ax + a. (11)

Так как f – движение, то оно порождается некоторым ортогональным преобразованием

пространства переносов V. В формулах (10), (11) матрица

- матрица этого преобразования

в базисе и, следовательно, А – ортогональная матрица.

Обратно, пусть в Е_n задан ортонормированный репер

. Напишем формулы (10), в которых матрица ортогональная. Преобразование f пространства Е_n, определяемое этими формулами, является аффинным. Оно порождается таким линейным преобразованием

пространства переносов V, которое в ортонормированном базисе задаётся ортогональной матрицей А. следовательно,

- ортогональное преобразование, а f – движение.

Итак, если в пространстве Е_n задан ортонормированный репер R, то формулы (10) определяют движение этого пространства тогда и только тогда, когда матрица

ортогональная.

Ортогональное преобразование

векторного пространства V переводит любой ортонормированный базис

в базис также ортонормированный. Следовательно, движение f пространства Е_n переводит любой ортонормированный репер в репер также ортонормированный. Поэтому движение f можно определить заданием любой пары соответствующих ортонормированных реперов: R, R' или R₁, R₁'.