Многомерные пространства понятие и виды (стр. 9 из 17)

.

n-мерное евклидово пространство.

Пусть V-n-мерное векторное пространство над полем R вещественных чисел. Билинейной формой, определенной на векторном пространстве V, называется отображение

g:

,

линейное по каждому аргументу, т.е. удовлетворяющее условию:

и

,

и .

Пусть на векторном пространстве V задана билинейная форма g. Возьмем в V какой-либо базис {

} ( Для

V имеем : и, значит, g(
Обозначим через . Тогда

g(

Квадратная матрица называется матрицей билинейной формы g в базисе . Таким образом, чтобы задать билинейную форму g:V достаточно в пространстве V задать базис и взять какую-либо квадратную матрицу G c элементами Тогда значение билинейной формы для вычисляется по формуле (*).Билинейная форма называется симметрической, если для .

Билинейная форма g на векторном пространстве V называется вырожденной, если

.

Если же такого вектора

не существует, то форма g называется невырожденной.

По формуле (

) для вырожденной формы имеем: (1)
для Но (1) есть многочлен 1-й степени относительно ,
и он равен нулю при любых значениях переменных . Значит, все его
коэффициенты равны нулю: .

Это есть система линейных однородных уравнений с n неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

т.е. матрица G вырожденная. Отсюда следует, что билинейная форма g ,будет невырожденной тогда и только тогда, когда её матрица G невырожденная
Векторное пространство V над полем R называется евклидовым векторным пространством, если на нем задана положительная билинейная форма g.
Употребляют такие названия:

Число

- скалярное произведение векторов и (его обозначают
через , или - скалярный квадрат вектора ; - неотрицательное число - норма или длина вектора .

Векторы

и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: =0. Вектор называется ортом (или единичным ), если =1. Если ,то вектор = является ортом. Базис { } евклидова векторного пространства V называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные:

Расстояние между двумя точками.

Угол между векторами.

1. Расстоянием ρ (А, В) между точками А, В

Е_n называется длина вектора :

ρ (А, В) =

. (1)

Возьмём в Е_n ортонормированную систему координат или ортонормированный репер, т. е. такой аффинный репер R =

, координатные векторы которого образуют ортонормированный базис пространства переносов V.

Так как теперь

· = 1, · = 0 (i ≠ j) и, значит, g_ij = 1, g_ij = 0

(i ≠ j), то для любого вектора

получим:

и, следовательно,

(2)

Так выражается длина вектора через его координаты в ортонормированном базисе.

Пусть А и В даны своими координатами в ортонормированном репере:

. Тогда

. (3)

(1), (2), (3)

Так вычисляется расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат.

Теорема. Расстояние между двумя точками в пространстве Е_n удовлетворяет неравенству треугольника

Это значит, что

(4)

▲Как известно,

. Пусть - ортонормированный базис и Тогда Нам надо доказать, как это следует из (4), что . Здесь каждая из сумм положительна. После возведения обеих частей неравенства в квадрат, получим: