Решение сфероидических треугольников (стр. 3 из 3)

(20)

И тогда из (19) с учетом (20), находим

Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

получаем

( формула Герона )

После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

(21)

Можно по аналогии написать формулы для разностей (В - В') и (D-D'):

(22)

Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), находим для треугольника:

(23)

С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:

(24)

которые и выражают теорему Лежандра.

Если при разложении синусов в ряд удерживались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

(25)

Где

Сравнивая формулы (24) и (25) приходим к выводу, что сферические треугольники со сторонами S < 250 км можно решать по формулам (24), т.к. поправочные члены

При этом сферический избыток при сторонах 90 км < S < 250 км, следует вычислять по формуле (25), а при сторонах S <90 км -по формуле (23).

Рабочие формулы:

№

тр.

Стороны (S)

P-S

Углы (i')

Углы (i)

22879,6106

16587,785

18404,461

6056,318

12348,143

10531,467

81°29'07,750"

45°48'30,074"

52°42'22,176"

0,254

81°29'08,004"

45°48'30,328"

52°42'22,430"

28935,928

5217,121

0,762

180°00'00,00"

0,762

180°00'00,762"

14740,517

18795,163

18404,461

11229,553

7174,907

7565,609

46°40'25,756"

68°03'27,472"

65°16'06,772"

0,211

0,212

46°40'25,967"

68°03'27,684"

65°16'06,984"

25970,07

4844,788

0,635

180°00'00,00"

0,635

180°00'00,635"