Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 12 из 32)

Следовательно,

- нормальная подгруппа в . Согласно лемме , - -нильпотентная группа и поэтому . Ввиду произвольного выбора , получаем, что для любого и . Ясно, что , что противоречит . Теорема доказана.

3. Группы, в которых

-максимальные подгруппы перестановочны с

-максимальными подгруппами

Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая

-максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.

[3.1]. Пусть

- группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы

, когда группа

имеет вид:

(1)

- группа Миллера-Морено;

(2)

, где - группа кватернионов порядка , - группа порядка .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что

- группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Докажем, что в этом случае, либо - группа Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Предположим, что это не так и пусть - контрпример минимального порядка.

Так как

- группа Шмидта, то ввиду леммы (I), , где - силовская -подгруппа в , - циклическая -подгруппа.

Покажем, что

- группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе имеется собственная подгруппа простого порядка. Ввиду леммы (IV), и, следовательно, - нормальная подгруппа в группе и - группа Шмидта.

Понятно, что в группе

каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Поскольку

, то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что либо - группа Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

В первом случае

- абелева подгруппа и, следовательно, - группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Тогда , где - группа кватернионов порядка и - циклическая группа порядка . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Если , то . Поскольку - группа Шмидта, то нильпотентна, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Полученное противоречие показывает, что . Следовательно, - максимальная подгруппа группы . Понятно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - подгруппа группы с индексом . Ясно, что - -макимальная подгруппа группы . Так как по условию и перестановочны, то - подгруппа группы , индекс которой равен . Рассуждая как выше, видим, что - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что - группа простого порядка.