Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 25 из 32)

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа

разрешима, то , где - примитиватор группы и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .

Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого . Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .

1. Пусть

. Если , то группа принадлежит типу (1). Если , то группа принадлежит типу (3).

2. Пусть

. Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае - группа типа (2).

3. Пусть

. Рассуждая как выше, видим, что . Значит, - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми

-максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе

каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

тогда и только тогда, когда либо

где

- различные простые числа и

либо

- группа типа (2) из теоремы , либо

- сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1)

,

где

- группа простого порядка , а - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где и ;

(2)

,

где

- группа простого порядка , - циклическая -группа с ( ) и ;

(3)

,

где

- группа простого порядка , - -группа с ( ), и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть

- группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .