Разрешимость конечных групп (стр. 10 из 16)

Допустим, что

- силовская подгруппа группы . Тогда обладает нетривиальной -фактор-группой, где (если , то см. , стр.58; если , то , стр.377). Пусть - инвариантная подгруппа индекса в . Так как разрешима, то , где - силовское -дополнение в . Но (, стр.676), поэтому . Теперь и разрешима по индукции. Так как , то разрешима и группа , противоречие.

Следовательно,

. Так как есть силовская -подгруппа группы , то . Если , то есть разрешимая подгруппа, значит, разрешима и . Фактор-группа разрешима по индукции, отсюда разрешима и , противоречие. Значит, . Теперь, есть группа порядка взаимно простого с , поэтому . Применяя лемму, заключаем, что есть -группа. разрешима по индукции, значит разрешима и . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3. Если

, где

- холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а

- 2-разложимая подгруппа, то

разрешима.

Доказательство. Пусть

- множество простых делителей порядка группы . Так как разрешима, то в существует холловская -подгруппа и холловское -дополнение . Поэтому . Теперь . Но . С другой стороны, для любого в и существуют такие силовские -подгруппы и , что . Так как - холловская подгруппа группы , то и . Поэтому . Следовательно, и . Теперь и из теоремы 2 следует разрешимость группы .

Замечание. На примере простой группы

, допускающей факторизацию , где , а , видно, что в теореме 3 нельзя отбросить требование модулярности силовских подгрупп из .

4. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов

Конечная группа

называется факторизуемой, если существуют собственные подгруппы и такие, что . Если, кроме того, подгруппы и разрешимы, то назовем -факторизуемой.

Неизвестно, будет ли разрешимой

-факторизуемая группа с факторами нечетных индексов. Утвердительный ответ на этот вопрос получен в теореме 3 настоящей заметки в случае, когда коммутант одного из факторов 2-замкнут. Отсюда, в частности, вытекает разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетных индексов. Лемма 3 и теорема 2 устанавливают разрешимость -факторизуемой группы с "малыми" индексами факторов.

Напомним необходимые обозначения. Пусть

- подгруппа конечной группы . Через обозначается наибольшая нормальная в подгруппа, содержащаяся в , а через - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . - подгруппа Фиттинга группы , а и - множество простых делителей порядка и индекса в соответственно. и - симметрическая и знакопеременная группы степени . и - циклическая, элементарная абелева, кватернионная, диэдральная и полудиэдральная группы порядка . Запись всегда означает, что конечная группа является произведением своих подгрупп и .