Разрешимость конечных групп (стр. 11 из 16)

При изучении строения факторизуемой группы

довольно часто возникает ситуация, когда , где - нормальная в простая подгруппа. Имеющаяся информация о знакопеременных и спорадических группах позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 1. (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени

лишь группы

и

являются,

-факторизуемыми:

.

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл

является

-факторизуемой:

.

Напомним, что

для , а спорадическая группа имеет индекс 1 или 2 в своей группе автоморфизмов.

Доказательству теоремы предпошлем следующее очевидное утверждение.

Лемма 1. Пусть группа

удовлетворяет двум условиям:

1)

, где

и

- попарно различные простые числа, не делящие

;

2) в

нет бипримарных

-холловских подгрупп для каждого

.

Тогда

не

-факторизуема.

Доказательство теоремы 1. (1) Для

и канонические разложения порядков и содержат три простых числа в первой степени . Так как и не обладают бипримарными холловскими подгруппами нечетного порядка (, с.177), то для указанных значений выполняются условия леммы 1.

Пусть

, и предположим, что с разрешимыми подгруппами и , где - симметрическая или знакопеременная группа множества . Для порядок имеет вид . Так как в нет бипримарных холловских подгрупп, то можно считать, что делит , а делит . Но - холловская подгруппа в - циклическая, что при невозможно. С помощью - холловской подгруппы одного из факторов исключаются случаи и .

Пусть теперь

. Зафиксируем для и для . Пусть делит и - орбита подгруппы , содержащая точки цикла длины , а и . Если , то транзитивна и содержит цикл длины , где . Поэтому примитивна, а по теореме 13.9 группа содержит . Противоречие. Значит, и . Поскольку -кратно транзитивна, то и транзитивна на множествах из элементов. По теореме подгруппа -кратно транзитивна.