Разрешимость конечных групп (стр. 13 из 16)

Для спорадических групп будем пользоваться обозначениями и информацией об их строении из обзора . Условиям леммы 1 удовлетворяют следующие спорадические группы и их группы автоморфизмов:

, поэтому они не -факторизуемы.

Пусть

и с разрешимыми подгруппами и . Группа имеет порядок , и в точно пять классов максимальных подгрупп: и . Пусть 11 делит . Тогда изоморфна разрешимой подгруппе из , поэтому или . Если , то делит и . Противоречие. Если , то делит , и так как в нет подгрупп индекса 5, то . Другими -факторизациями группа не обладает.

Подобная элементарная проверка показывает, что не

-факторизуемы следующие группы и их группы автоморфизмов: , , , , , , , , , .

Итак, из 26 спорадических групп только группа

-факторизуема. Теорема 1 доказана.

Лемма 2. Пусть

и

. Тогда

.

Доказательство. Допустим противное, т.е.

для простого числа , не делящего индекс в . Так как для некоторых силовских -подгрупп из и , - силовская в , то . По лемме Чунихина . Противоречие.

Лемма 3. Пусть

и

. Тогда

число, а индекс

в

нечетен. Если

разрешима, то силовская 2-подгруппа в

- циклическая. В частности, если

и

разрешимы, то и

разрешима.

Доказательство. Предположим, что

. Тогда представление перестановками смежных классов по подгруппе будет точным степени , где . По теореме V.21.1 силовская -подгруппа из имеет порядок , a - группа Фробениуса с ядром и циклическим дополнением . Так как разрешима, то и по лемме 2 - -группа. Поэтому и силовская 2-подгруппа из - циклическая. Но нечетен, значит, - силовская в и разрешима.

Если

, то к группе применима индукция. Так как , то в силовская 2-подгруппа - циклическая.

Теорема 2. Пусть

с разрешимыми подгруппами

и

. Если

или

,

или

, где

и

- простые числа, то

разрешима.