Разрешимость конечных групп (стр. 7 из 16)

Следствие.1. Если

- нильпотентная

-холловская подгруппа

-обособленной группы

и

, то

.

Следствие.2. Если

-

-холловская подгруппа

-обособленной группы

, то

.

3. К двум теоремам ведерникова

В двух теоремах работы В.А. Ведерникова (см. также ) рассматриваются произведения 2-разложимых групп специальных видов. Первая теорема утверждает, что группа

разрешима, если подгруппы и 2-разложимы с дедекиндовыми силовскими 2-подгруппами. Позже этот результат В.А. Ведерникова повторили Скотт и Гросс . Вторая теорема устанавливает разрешимость группы , если дедекиндова, а 2-разложима.

Результаты настоящей заметки обобщают первую теорему и дополняют вторую. Оказалось, что в первой теореме требование дедекиндовости силовских 2-подгрупп можно ослабить до модулярности. Во второй теореме требование дедекиндовости подгруппы

можно заменить следующим: - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими.

В дальнейшем используются следующие обозначения и определения:

всегда конечная группа порядка ; если - подгруппа группы , то - некоторая силовская -подгруппа из , , - подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами из ; - некоторое множество простых чисел.

Группа называется

-разложимой, если она разлагается в прямое произведение своих силовской -подгруппы и силовского -дополнения .

Группа называется

-разложимой, если она -разложима для каждого .

-специальной группой называется группа, силовская -подгруппа которой инвариантна .

Понятие модулярной группы можно найти в . Там же доказано, что

-группа модулярна тогда и только тогда, когда любые ее две подгруппы перестановочны. Поэтому свойство модулярности -группы наследуется не только ее подгруппами, но и фактор-группами. Очевидно, что дедекиндова группа, т.е. группа, у которой все подгруппы инвариантны, является модулярной.

Лемма 1. Если группа

, где

и

-

-специальные подгруппы и

, то

есть

-группа.

Доказательство. Так как

(, стр.676), то для каждого , где , , имеем:

Выберем наибольшую

-подгруппу из группы , содержащую и перестановочную с для любого . Но , поэтому и . Покажем, что инвариантна в . Допустим противное, т.е. что существует такой элемент , что . Очевидно, мы можем считать принадлежащим для некоторого из . Если - произвольный элемент из группы , то и поэтому , т.е. перестановочна со всеми подгруппами, которые сопряжены с в группе . Значит, и группа , порожденная подгруппами и , перестановочна с для каждого . Теперь есть -группа. Подгруппа есть собственная подгруппа группы и . Получили противоречие с выбором . Следовательно, инвариантна в . Так как , то есть -группа. , поэтому . Но и , значит, есть -группа. Лемма доказана.