Разрешимость конечных групп (стр. 8 из 16)

Из доказанной леммы вытекает лемма 1 А.В. Романовского .

Теорема 1. Если группа

, где подгруппы

и

2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то

разрешима.

Доказательство. Допустим, что группа

- - - контрпример минимального порядка. Для доказательства теоремы достаточно отыскать в нетривиальную разрешимую инвариантную подгруппу. Действительно, если такая подгруппа, то фактор-группа разрешима по индукции, а значит, разрешима и .

Пусть

- собственная подгруппа группы , содержащая один из факторов, например . Применяя модулярное тождество , получаем, что . Так как , то подгруппа разрешима. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы , содержащая один из факторов, разрешима.

Рассмотрим вначале случай, когда

и являются -группами, т.е. когда . Пусть - подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами из . Если , то разрешима, поэтому разрешима в , противоречие. Значит, . Фактор-группа нечетного порядка, поэтому . Применяя лемму, получаем, что есть 2-группа, противоречие.

Следовательно, один из факторов, пусть

, имеет нечетный порядок. Теперь совпадает с некоторой силовской 2-подгруппой группы , т.е. . Если недедекиндова, то имеет подгруппу индекса 2 (, стр.58). Так как (в противном случае содержит подгруппу индекса 2, что невозможно), то разрешима, противоречие.

Таким образом,

дедекиндова. В этом случае, не ссылаясь на работы (,), но используя некоторые их идеи, мы дадим, как нам кажется, более прозрачное доказательство разрешимости группы.

Если

гамильтонова, то по следствию 7 из в существует разрешимая инвариантная подгруппа, противоречие. Значит, абелева. Пусть - произвольная инволюция из группы . Так как , где , , , то . Подгруппа абелева, поэтому централизатор и разрешим. Следовательно, в силовская 2-подгруппа абелева и централизатор каждой инволюции разрешим.

Пусть

- минимальная инвариантная подгруппа группы . Тогда неразрешима и есть прямое произведение простых изоморфных групп. Очевидно, , поэтому . Так как нечетен, то , и совпадает с одной из силовских 2-подгрупп группы , т.е. . Если , то нормализатор неразрешим, где - силовская 2-подгруппа прямого сомножителя и . Но , поэтому содержит , а значит, разрешим, противоречие. Следовательно, и - простая группа. Так как силовская 2-подгруппа из абелева и централизатор каждой инволюции разрешим, то по теореме из группа , где или и или .