Разрешимость конечных групп (стр. 1 из 16)

4 установлена разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетного индекса и показано что среди простых знакопеременных и спорадических групп лишь

являются произведением разрешимых подгрупп.

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или
, где
- нильпотентная группа, а
и
- простые числа.

Теорема 2.1 Если

-
-подгруппа, субнормальная в некоторой
-холловской подгруппе конечной
-обособленной группы
, то
.

Теорема 2.2 Если

-
-холловская подгруппа конечной
-обособленной группы
, то
для любого подмножества
из
.

Теорема 2.3 Если

-
-холловская подгруппа конечной
-обособленной группы
и
, то
.

Теорема 3.1 Если группа

, где подгруппы
и
2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то
разрешима.

Теорема 3.2 Если группа

, где
- нильпотентная
-подгруппа с модулярными силовскими, а
-
-разложимая подгруппа и
, то
разрешима.

Теорема 3.3 Если

, где
- холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а
- 2-разложимая подгруппа, то
разрешима.

Теорема 4.1 (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени

лишь группы
и
являются,
-факторизуемыми:
.

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл

является
-факторизуемой:
.

Теорема 4.2 Пусть

с разрешимыми подгруппами
и
. Если
или
,
или
, где
и
- простые числа, то
разрешима.

Теорема 4.3 Пусть группа

, где
и
- подгруппы нечетных индексов. Если
разрешима, а коммутант подгруппы
2-замкнут, то
разрешима и
.

1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам

В работе Л.А. Шеметков ввел понятие добавления (см. также , с.132). Добавлением к подгруппе

конечной группы

называется такая подгруппа

из

, что

, но

для любой собственной подгруппы

из

. Если, кроме того,

, то

называется дополнением к подгруппе