Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 14 из 20)

Доказательство проведём индукцией по порядку группы

. В силу леммы 2.3.13 можно считать, что .

Из леммы 2.3.9

следует, что подгруппа нормальна в группе . Рассмотрим подгруппу такую, что . Подгруппа имеет супердобавления как –подгруппа, поэтому есть подгруппа группы . Теперь и . Следовательно, подгруппа нормальна и в группе . Теперь факторгруппа –сверхразрешима по индукции. Значит и группа –сверхразрешима.

Теорема доказана.

Пример 2.3.15 Если силовская

-подгруппа обладает супердобавлением, то не всегда . В симметрической группе силовская –подгруппа полунормальна, но .

Пример 2.3.16 В

существует подгруппа порядка , не имеющая супердобавления.

Доказательство. Пусть

, где

Предположим, что подгруппа

, имеющая порядок , имеет супердобавление в . Тогда существует подгруппа такая, что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от . Так как делится на , то можно считать, что силовская -подгруппа группы содержится в . Но теперь

и

, т.е. не является подгруппой группы , получили противоречие. Утверждение доказано.

Теперь пусть

– класс групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7 класс – наследственный гомоморф. Из предыдущего примера вытекает, что не является радикальным классом и не является формацией. Кроме того, не содержит класс вполне факторизуемых групп.

Пример 2.3.17 Пусть

– сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в все подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:

1)

;

2)

полунормальна в группе как подгруппа простого индекса;

3) если выбрать произвольную подгруппу

, то и , тем более полунормальна;

4) если

– произвольная непримарная подгруппа группы , то , где , и .

Таким образом, в

все подгруппы, кроме и ей сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.

Пример 2.3.18 Пусть

– группа диэдра порядка . Тогда

Проверим, что в

все подгруппы обладают супердобавлениями.

Подгруппа

полунормальна, она даже нормальна.

Подгруппа

полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и для единственной собственной подгруппы из имеем .

Подгруппа

полунормальна, так как и для любой подгруппы всегда существует минимальное добавление в группе.

Подгруппа

полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Подгруппа

полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .