Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 17 из 20)

Лемма доказана.

Лемма 3.1.7 Пусть группа

с силовским множеством

,

– подгруппа группы

. Если подгруппа

–квазинормальна, то сама подгруппа

будет

–квазинормальной для любого элемента

группы

.

Доказательство. По условию

, для любой подгруппы , произвольного элемента . Рассмотрим произведение

Так как

– подгруппа группы , то – подгруппа, поэтому , то есть – –квазинормальная подгруппа группы .

Лемма доказана.

Пусть

– силовское множество группы . Выше пересечение определялось для нормальной подгруппы группы . В этом случае по лемме 3.1.5 пересечение является силовским множеством группы . Если – произвольная, не обязательно нормальная, подгруппа группы , то положим . Отметим, что в этом случае может не быть силовским множеством группы .

Лемма 3.1.8 Пусть

– группа,

– ее силовское множество. Если

–

–квазинормальная подгруппа группы

, причем

и индекс

в группе

примарный, то

– примарная группа.

Доказательство. Пусть

и пусть . Так как – –квазинормальная подгруппа, то – подгруппа группы для каждого . По теореме об индексах

где

, . Для каждого имеем , то есть и . Но по условию , поэтому и – –группа.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.9 Пусть

– нормальная подгруппа группы

. Если

– циклическая

–подгруппа факторгруппы

, то существует элемент

такой, что

–

–подгруппа и

.

Доказательство. Пусть

– минимальное добавление к подгруппе в группе . Тогда по лемме 2.3.23, поэтому является -группой. Так как и циклическая, тогда – циклическая подгруппа, то есть подгруппа из для некоторого .

Лемма доказана.

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

Будем использовать запись

для обозначения некоторого силовского множества группы .

Теорема 3.2.1 Пусть группа

, где подгруппы

и

дисперсивны по Оре. И пусть

и

– силовские множества подгрупп

и

. Если циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, то группа

дисперсивна по Оре.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению. Пусть

– не дисперсивная по Оре группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда для любой неединичной нормальной подгруппы факторгруппа является произведением своих подгрупп и . Так как и , то подгруппы и дисперсивны по Оре. Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества подгрупп и соответственно равны множествам и .