Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 10 из 14)

.

Найдем наименьшее значение выражения

.

.

То есть наименьшее значение выражения

равно . Тогда наименьшее значение выражения , а значит наименьшее значение выражения равно .

Ответ: при

неравенство имеет решение.

Для данного задания самый удобный метод решения – решение с помощью тригонометрической подстановки. Во втором случае возникает проблема с тем, чтобы найти наименьшее значение выражения

. Если учащиеся умеют находить наименьшее значение функции с помощью производной, то выполнив все вычисления и проведя исследование, они справятся с задачей. Если подобное задание решать до изучения производной, то могут возникнуть трудности с определением наименьшего значения. В работе предложен прием сведения к уравнению с параметром, подробно описанный в предыдущем параграфе.

Глава 3

Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач»

на факультативных занятиях по математике

Одной из задач дипломной работы является опытное испытание эффективности разработанной методики изучения тригонометрической подстановки как метода решения алгебраических уравнений, неравенств, их систем, а также задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Это испытание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдения, диагностирующих контрольных работ и других.

Тригонометрическая подстановка как метод решения алгебраических задач рассматривается в курсе математики для классов с углубленным изучением предмета в плане ознакомления [57]. Но в силу значимости материала для развития творческих способностей учащихся и освоения ими эффективного приема и метода решения сложных конкурсных заданий целесообразно организовать более детальную работу с тригонометрической подстановкой. Поэтому возникает необходимость в разработке и проведении факультативных занятий, посвященных данной теме.

Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» было осуществлено в 2005 году в 10 «Б» классе Физико-математического лицея. Цели опытного преподавания: исследование возможности введения на факультативных занятиях в классы с углубленным изучением математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы:

1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики.

2. Проведение разработанного факультативного курса.

3. Проведение диагностирующей контрольной работы.

4. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.

5. Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» » с учащимися классов с углубленным изучением математики.

Факультативный курс был разработан на основе сравнительного анализа решения большого числа задач традиционным способом и с помощью тригонометрической подстановки. Данный курс состоит из пяти занятий, которые желательно провести в 10 классе сразу после изучения тригонометрии или в 11 классе в связи с подготовкой учащихся к итоговой аттестации и поступлению в вузы. В процессе разработки и проведения факультативных занятий были поставлены следующие цели:

1. Продолжить изучение тригонометрической подстановки, но уже на факультативных занятиях.

2. Углубить знания о методах решения алгебраических задач.

3. Показать применение различных методов решения.

4. Провести сравнительный анализ этих решений.

5. Способствовать формированию у учащихся умения видеть рациональный метод решения математических задач и обосновывать его применение.

6. Показать, как аппарат тригонометрии может быть применен для решения задач алгебры, усилить связи между алгеброй и тригонометрией.

7. Развитие логического мышления.

8. Формирование настойчивости, целеустремленности и трудолюбия через решение сложных конкурсных задач.

Этап 2. Проведение разработанного факультативного курса.

Разработанные занятия проводились один раз в неделю. Всего было проведено 5 занятий. Ниже предлагается разработка одного занятия. С разработками остальных занятий можно ознакомиться в приложении к работе.

Занятие №2.

Тема: применение тригонометрической подстановки при решении уравнений.

Цель:

1. Продолжить изучение применения тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений в случае, когда переменная

может принимать любые действительные значения.

2. Выявить виды рациональных уравнений, для решения которых применяется тригонометрическая подстановка.

3. Провести сравнительный анализ решения рациональных уравнений с помощью тригонометрической подстановки и без нее, выбрать наиболее рациональный метод решения.

4. Рассмотреть применение тригонометрической подстановки как одного из способов решения задач с параметрами.

Содержание:

1. Решить уравнение

.

Перед началом решения задачи желательно обсудить с учащимися, какие возможные значения может принимать переменная

и чем данное иррациональное уравнение отличается от ранее решенных уравнений. Целесообразно, чтобы при решении данного уравнения класс был разделен на три группы: учащиеся, которые решают с помощью тригонометрической подстановки, с помощью замены и возведением в квадрат. Решение задачи завершается тем, что заслушивается решение каждым способом, после чего происходит обсуждение сильных и слабых сторон каждого метода решения.

Перед тем, как приступить к рассмотрению рациональных уравнений, желательно вспомнить с учащимися, какие проблемы возникают при решении рациональных уравнений. Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что решение этих заданий следует начинать с исследования того, какие значения может принять переменная

с целью обоснования возможности введения тригонометрической подстановки. В первом примере желательно все необходимые рассуждения провести вместе с классом.

2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение

.

Организовать работу с данным уравнением можно как в предыдущем случае, разделив класс на две группы, решающих алгебраическим способом и с помощью тригонометрической подстановки. После чего целесообразно организовать сравнительный анализ обоих способов решения.

3. Решить уравнение

.

4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

На этом примере желательно дать учащимся еще один способ решения задач с параметрами – с помощью тригонометрической подстановки и обсудить, как по структуре уравнения с параметром можно понять, что метод тригонометрической подстановки можно применить к данному уравнению.

Домашнее задание:

1. Решить уравнение

.

2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение

.

Литература: [3], [4], [12], [13], [23]-[25], [37]-[40], [45], [55]-[57].

Этап 3. Проведение диагностирующей контрольной работы.

Диагностирующая контрольная работа была организована после проведения всех занятий, предусмотренных факультативом, и заняла 1 урок. Учащимся было предложено для обязательного решения 3 задачи и одно задание было вынесено на дополнительную оценку. При этом школьникам была предоставлена возможность самостоятельно выбрать метод решения каждой задачи. Цели контрольной работы:

1. Выявить степень усвоения учащимися материала.

2. Определить понимание необходимости обоснования введения тригонометрической подстановки.

3. Сравнить эффективность решения с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

4. Выявить тот материал и те задания, которые вызывают наибольшие затруднения у учащихся.

План:

1. Организация учащихся на выполнение контрольной работы.