Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 11 из 14)

2. Выполнение работы по двум вариантам.

Содержание:

I Вариант

1. Решить уравнение

2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

в области .

3. Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение

.

4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

II Вариант

1. Решить уравнение

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

в области .

3. Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение

.

4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

Оценивание: Правильно выполненное и аргументированное решение оценивалось знаком «+». Правильно выполненное решение с частичным обоснованием введения тригонометрической подстановки – знаком «

». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки, но с указанием промежутка изменения – знаком «*». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки и без указания промежутка изменения – знаком « ». Решение с ошибками – знаком « ». Отсутствие решения – знаком «–». Буква «д» рядом с одним из указанных выше знаков означает, что учащийся решал задание, не прибегая к тригонометрической подстановке. Буква «к» - учащийся в решении комбинирует тригонометрическую подстановку с другим способом решения. Буква «с» - учащийся представил два решения: с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

Результаты: контрольная работа была написана 21 учеником класса из 22. Начнем с разбора обязательной части контрольной работы.

Фамилия	1 задание	2 задание	3 задание
1	Бакулин	+
2	Бизяев
3	Вахрушев
4	Витвицкий	+		+д
5	Громазин	+		к
6	Давидюк	+
7	Жичкина	+	+	*
8	Журавлев	+
9	Касьянов	+
10	Колупаева			*
11	Коновалов
12	Коробейников		+	+д
13	Макарова	+
14	Новоселов	+		*
15	Овчинников
16	Прокашев	+
17	Сероглазов		*	*
18	Скачилова	+
19	Хохлов
20	Черняк	+		+д
21	Шильников			–
Процент учащихся, верно выполнивших задание		57%	100%	67%
Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку		100%	100%	86%
Процент учащихся, верно решивших с помощью тригонометрической подстановки[2]		57%	100%	67%
Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки		100%	14%	22%
Процент учащихся, верно решивших другим способом		–	–	100%

Первое задание – решение иррационального уравнения – все учащиеся выполнили с помощью тригонометрической подстановки, причем во всех работах было представлено полное обоснование возможности введения этой подстановки. В восьми работах решение оказалось с ошибками. Все учащиеся, использовавшие подстановку

, где , допустили ошибки. Это было связано с тем, что в результате преобразований исходного уравнения в правой части получалась формула синуса тройного аргумента с отрицательным знаком, который был утерян. Потерю знака удалось избежать тем учащимся, которые выбрали подстановку , где . Ошибки в решении при такой подстановке были связаны с неверным отбором корней.

Второе и третье задания были посвящены нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.

Второе задание всеми учащимися было решено верно, при этом в качестве метода решения был выбран метод тригонометрической подстановки. Но в отличие от решения первого задания, во втором только двое учащихся дали аргументированное решение с полным обоснованием возможности введения тригонометрической подстановки. В одной работе эта возможность не получила достаточно полного обоснования. Остальные восемнадцать учащихся приступили к решению без доказательства возможности введения замены, причем из них только один верно указал, что

.

К решению третьего задания приступили двадцать учащихся из двадцати одного. Из них трое решали алгебраическим способом и полностью справились с решением. Один ученик начал решение алгебраическим способом, получил промежуточный результат, который использовал при решении с помощью тригонометрической подстановки, но все решение не было доведено до конца. Шестнадцать учащихся применили метод тригонометрической подстановки для решения, но ни в одной из этих работ не было обоснования введения этой подстановки, и только четверо указали, что

. Из шестнадцати работ шесть содержат ошибки. В трех решение было завершено после того, как было найдено наибольшее значение выражения, в то время как задание состояло в том, чтобы найти такие решения системы, при которых данное выражение принимает наибольшее значение. В остальных трех работах были допущены вычислительные ошибки.