Положим
, где , тогда . . .Ответ:
.Так как
, то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль .Ответ:
.Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.
Пример 2. Решите уравнение
[14].Решение с помощью тригонометрической подстановки
Область определения уравнения задается неравенством
, что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид .Так как
, то . Раскроем внутренний модуль .Положим
, тогда .Условию
удовлетворяют два значения и . . .Ответ:
.Алгебраическое решение
.Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим
.Пусть
, тогда . Уравнение перепишется в виде .Проверкой устанавливаем, что
– корень, тогда делением многочлена на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители .От переменной
перейдем к переменной , получим .Условию
удовлетворяют два значения .Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что
– корень.Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что
тоже корень.Ответ:
.Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.
Пример 3. Решите уравнение
[31].Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как
, то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду .Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель
в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить Исходное уравнение перепишется в виде .Так как
, то и . Уравнение примет вид .Пусть
. Перейдем от уравнения к равносильной системе .Числа
и являются корнями квадратного уравнения . .Ответ:
.Введем замену
, тогда уравнение запишется в виде .Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение