Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 6 из 14)
.Условию
удовлетворяют четыре значения 
. 
. 
. 
. 
.Ответ:
; 
; 
; 
.Алгебраическое решение
.Пусть
, тогда 
. Имеем 
.Подберем
так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть 
.Подбором находим, что
является корнем уравнения 
.Подставим
в уравнение 
, после чего оно примет вид 
.Перейдем к переменной
Подставив получившиеся значения переменной
во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной 
Ответ:
; ; ; .Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений
[18].Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение
. Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.Перепишем систему в виде
.Докажем, что все числа
по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть – максимальное из чисел и 
, то 
. Пришли к противоречию. Если число – минимальное и 
, то 
. Опять пришли к противоречию. Итак 
.Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим
. Тогда 
, 
, 
. Число решений исходной системы равно числу решений уравнения 
.Условию
удовлетворяет 27 решений 
.Ответ:
.Алгебраическое решение
Выразим переменную
.Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.
§3. Доказательство неравенств
Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее, многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений. В том числе, к доказательству неравенств применим метод замены переменной. При этом замена переменных, входящих в неравенство, с одной стороны, сокращает число переменных, а с другой, позволяет привести неравенство к виду, более удобному для исследования его свойств.
Пример 1. Доказать, что
[43].При
неравенство верное.Решение с помощью тригонометрической подстановки
Для любых
найдется угол 
, что 
. Исходное неравенство примет вид 
.Так как
, то 
. Умножим обе части неравенства на 
, получим 
.Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.
Алгебраическое решение
Выполним решение с помощью тождественных преобразований. Для этого рассмотрим разность
