Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 8 из 14)
Перейдем к системе
,то есть выясним, при каких значениях параметра
система имеет решения. Умножим второе уравнение на и вычтем полученное уравнение из первого. 
.Получили однородное уравнение относительно переменных
и 
. Проверкой устанавливается, что при 
система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на 
.Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.
.Итак, данная система равносильна системе
.Покажем, что при
система имеет решения. Пусть 
- корень первого уравнения, тогда 
подставим во второе уравнение 
.Обратим внимание на то, что в промежутке
только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток и есть множество значений, принимаемых выражением 
при условии, что 
.В данном случае решение с помощью тригонометрической подстановки проще как в техническом, так и в идейном смысле. Не зная заранее идеи второго способа, трудно догадаться свести задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений выражения к решению системы с параметром.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
, если 
[16].Как в предыдущем примере, в этом случае самый удобный подход – тригонометрическая подстановка. Решение системы, состоящей из двух неравенств и одного уравнения с параметром, довольно сложно.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим
. Геометрический смысл такой замены: для каждой точки 
кольца определяются расстояние 
до начала координат и угол 
наклона вектора к положительному направлению оси абсцисс. Тогда неравенство будет выполнено при 
. Произведем замену в данном выражении = 
.Так как множество значений выражения
– это отрезок 
, то множество значений выражения 
– отрезок 
.Ответ: наименьшее значение
, наибольшее значение 3.Пример 4. Среди всех решений системы
[42].Найдите такие, при которых выражение
принимает наибольшее значение.Перепишем систему в виде
Так как сумма квадратов чисел
и 
рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка 
. Аналогично обосновывается введение замены 
. Тогда неравенство системы перепишется в виде 
.Запишем выражение
в виде 
.Наибольшее значение выражения
достигается тогда и только тогда, когда 
Найдем
.
. 
. 
.Ответ:
.Алгебраическое решение
Перепишем исходную систему в виде
.Сложим равенства полученной системы
.Сравним левые и правые части получившегося равенства и неравенства системы, получим
.Рассмотрим квадрат выражения
.Наибольшее значение выражения
, а значит, наибольшее значение выражения имеет место тогда и только тогда, когда 
, то есть 
. Можно записать 
.Подставим полученное выражение
в первое уравнение исходной системы и найдем 
.Так как необходимо найти наибольшее значение выражения
и и имеют одинаковый знак, то выбираем