Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 1 из 14)
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Применение тригонометрической подстановки
для решения алгебраических задач
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
С. И. Торопова
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии О. С. Руденко
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры алгебры и геометрии
Е. М. Ковязина
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Метод замены переменной при решении задач.............................. 7
§1. Общие положения.................................................................................. 7
§2. Тригонометрическая подстановка........................................................ 9
Глава 2. Применение метода тригонометрической подстановки при решении задач........................................................................................................................ 11
§1. Решение уравнений............................................................................. 11
1.1 Иррациональные уравнения........................................................... 11
1.2 Рациональные уравнения................................................................ 23
1.3 Показательные уравнения............................................................... 26
§2. Решение систем.................................................................................... 27
§3. Доказательство неравенств................................................................. 32
§4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции...................................................................................................... 35
§5. Решение задач с параметрами............................................................ 43
Глава 3. Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» на факультативных занятиях по математике........................................................................................................................ 48
Заключение.................................................................................................... 63
Литература.................................................................................................... 65
Приложение................................................................................................... 70
Введение
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности. Развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно при вовлечении их в творческую деятельность, которая включает в себя:
1. Осознание, что данная конкретная задача есть представитель класса однородных задач.
2. Отыскание различных вариантов решения, их сопоставление, выявление сильных и слабых сторон каждого способа решения с целью выбора из них наиболее рационального, простого, «изящного». Сравнение и анализ различных решений одной задачи делает знания более прочными и осознанными. Установлено, что решение одной и той же задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд такого же числа стереотипных заданий.
3. Самостоятельное комбинирование известных способов деятельности.
4. Изобретение, по крайней мере, для данной задачи принципиально нового приема решения.
Для развития творческих способностей учащихся наиболее ценными являются сложные и нестандартные задачи. Решение сложных задач по математике во многом зависит от опыта их решения, от степени овладения методами их решения и техникой преобразований. Нестандартные задачи – это задачи, для решения которых у учащихся нет готового алгоритма и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи. При решении нестандартных задач формируется математическая культура, воспитывается гибкость ума и осуществляется постижение единства математики. Вот почему, по мнению Д. Пойа, «нестандартные задачи могут способствовать интеллектуальному развитию ученика, чего нельзя сказать о стандартных» [36].
Важнейшим источником нестандартных задач являются олимпиадные и конкурсные задания. Как правило, нестандартные задачи требуют нестандартного подхода к их решению. Важно, чтобы у учащихся был создан запас методов решения нестандартных задач, так как не всегда школьники могут самостоятельно додуматься до нестандартного метода решения.
С точки зрения стандартных школьных методов решения алгебраических задач метод тригонометрической подстановки является нестандартным приемом. С другой стороны, тригонометрическая подстановка позволяет решать сложные многоходовые задачи. Она применяется при решении таких алгебраических задач, которые своими средствами не решаются или решаются очень сложно.
Учащиеся классов с углубленным изучением математики знакомятся с методом тригонометрической подстановки [21], [57] но есть смысл в более подробном и глубоком его изучении. Необходимость в таком изучении в классах с углубленным изучением математики обусловлена следующими положениями.
1. Углубленное изучение предполагает наполнение курса разнообразными, интересными и нестандартными задачами, которые играют существенную роль в развитии творческих способностей учащихся. Применение тригонометрической подстановки для решения задач позволяет дать эффективный способ решения нестандартных олимпиадных задач [8], [9], [16], [25], [29].
2. Учащиеся классов с углубленным изучением математики в условиях серьезного конкурса на вступительных экзаменах в вузы с профилирующим изучением математики окажутся перед необходимостью решить трудные и очень трудные задачи. Неоценимую помощь в таком решении им может оказать метод тригонометрической подстановки [4], [10], [30], [31], [37]-[40], [44], [51], [52].
3. Задачи, предлагаемые к решению с помощью тригонометрической подстановки, базируются на достаточно высоком уровне владения техникой как алгебраических, так и тригонометрических преобразований. Это позволяет оценить метод решения и применить его в сходной ситуации.
4. Применение тригонометрической подстановки приучает учащихся к полноте аргументации введения подстановки для решения задач.
5. Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области.
Наиболее уместно организовать работу, посвященную применению тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач, на факультативных занятиях по математике. При этом целесообразно предложить учащимся для решения разнообразные задачи: рациональные и иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, задачи с параметрами. Желательно создать такую работу, которая бы содержала в себе подборку из разнообразных алгебраических заданий, решаемых с помощью тригонометрической подстановки, не ограничиваясь рассмотрением отдельного класса задач.
Цель работы: разработать методику применения тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач старшими школьниками на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.
Объект исследования: процесс применения тригонометрической подстановки как метода решения разнообразных алгебраических задач.
Предмет исследования: организация деятельности учащихся по овладению тригонометрической подстановки на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.
При исследовании исходим из гипотезы, что применение методики, разработанной на основе сравнительного анализа решения большого числа задач, позволит развить творческие способности учащихся и подготовит их к вступительным экзаменам в серьезные вузы.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1. Выявить теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.
2. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
3. На основе проведенного сравнительного анализа разработать методику изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.
4. Провести опытное испытание эффективности разработанной методики.
Глава 1
Метод замены переменной при решении задач
§1. Общие положения
Переход к новым обозначениям, замена неизвестных – существенный прием и метод, который применяется при решении самых различных задач как элементарной, так и высшей математики. Очень важно, чтобы этот прием и метод был прочно усвоен и освоен в школе, так как идея замены переменной является сквозной и в том или ином виде фигурирует практически во всех разделах школьной математики.
Существуют два подхода к определению метода замены переменной. Если уравнение
удалось преобразовать к виду 
, то нужно ввести новую переменную 
, решить уравнение 
, а затем рассмотреть совокупность уравнений